Гамільтонів принцип

При́нцип Га́мільтона — у механіці системи точок означає таке:

Перехід з одного стану в інше за заданий інтервал часу $\![t_{0},t_{1}]$ відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала

\!I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U){dt}

дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з рівнянням Ойлера-Лаґранжа для функціонала $\!I$ . При цьому $\!T$ означає кінетичну і $\!U$ / — потенційну енергії системи, а $\!L=T-U$ — функцію Лагранжа. Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала $\!I$ у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.

Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.

Приклад

Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:

$\!T={\frac {m\cdot y'^{2}}{2}}$

$\!U=m\cdot g\cdot y$

( $\!m$ — маса, $\!y(t)$ — висота точки до часу $\!t$ )

Інтеграл для функції Лагранжа:

$\!I(y)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(T-U)dt=m{\int _{t_{0}}^{t_{1}}({y'}^{2}/2+{gy}){dt}}$

Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала $\!I(y)$ :

$\!mg-m{\frac {dy'}{dt}}=0$ ,

тобто $\!y''=g$

таким чином

$\!y(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {g\cdot t^{2}}{2}}$

Це — рівняння руху для вільного падіння.

Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші фізичні процеси, так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.

Інші завдання

Разом із завданнями для функціоналів вигляду

$\!I(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y,y')dx$

існують також і інші постановки завдань.

Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.

Значення

Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.

Див. також

Література

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.