Гомологічна сфера

Гомологічна сфера — n-вимірний многовид X з гомологіями як у n-вимірної сфери. Тобто

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z), і

H_i(X,Z) = {0} за всіх інших i.

Приклади

Сфера Пуанкаре
Сфери Бріскорна Σ(p, q, r), тобто перетин малої 5-вимірної сфери з розв'язком рівняння x^p + y^q + z^r = 0 в $\mathbb {C} ^{3}$ за взаємно простих p, q і r. Вони є гомологічними сферами. При цьому Σ(1, 1, 1) гомеоморфне стандартній сфері, а Σ(2, 3, 5) сфері Пуанкаре. Якщо $1/p+1/q+1/r\leq 1$ , то універсальне накриття Σ(p, q, r) гомеоморфне евклідовому простору,

Гомологічна сфера зв'язна.
Фундаментальна група $\Gamma$ гомологічної сфери збігається зі своїм комутатором.
Нехай $n\geqslant 5$ $\text{[math]}$ . Група $\Gamma$ $\text{[math]}$ є групою якоїсь n-вимірної гомологічної сфери тоді й лише тоді, коли[1]:
1. $\Gamma$ скінченно задана;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Група $\Gamma$ $\text{[math]}$ є групою якоїсь 4-вимірної гомологічної сфери, якщо
1. $\Gamma$ задана рівним числом твірних і співвідношень, і
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Невідомо, чи істинне зворотне.
Зв'язна сума двох гомологічних сфер — це гомологічна сфера.
Згідно з узагальненою гіпотезою Пуанкаре, однозв'язна гомологічна сфера гомеоморфна стандартній сфері.

Раціонально гомологічна сфера визначається аналогічно, але з використанням гомологій з раціональними коефіцієнтами.

Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.