Граф Татта — Коксетера
У математичній області теорії графів, граф Татта — Коксетера являє собою 3-регулярний граф з 30 вершинами і 45 ребрами. Як єдиний найменший кубічний граф обхвату 8, він є клітиною і графом Мура. Також це двочастковий граф і він може бути побудований як граф Леві узагальненого чотирикутника W2 (відомий як конфігурація Кремони — Річмонда. Граф був названий на честь Вільяма Томаса Татта і Х. С. М. Коксетера; був відкритий Таттом (1947), але його зв'язок з геометричними конфігураціями був досліджений обома авторами спільно, результати викладені в опублікованих статтях (Татт 1958; Кокстер 1958).
| Граф Татта — Корсетера | |
|---|---|
 | |
| Названий на честь |
Вільям Татт Гарольд Коксетер |
| Вершин | 30 |
| Ребер | 45 |
| Радіус | 4 |
| Діаметр | 4 |
| Обхват | 8 |
| Автоморфізм | 1440 (Aut(S6)) |
| Хроматичне число | 2 |
| Хроматичний індекс | 3 |
| Властивості |
кубічний граф симетричний граф клітка граф Мура дистанційно-регулярний граф дистанційно-транзитивний граф двочастковий |
Всі кубічні дистанційно-регулярні графи відомі.[1] Граф Татта — Кокстера є одним з 13 таких графів.
Конструкції і автоморфізм
Особливо проста комбінаторна побудова графа Татта — Коксетера можлива завдяки роботі Коксетера (1958b), яка заснована на роботі Сильвестра (1844). У сучасній термінології, візьмемо повний граф на 6 вершин K6. Він має 15 ребер, а також 15 парувань. Кожна вершина графа Татта — Коксетера відповідає ребру або паруванню з K6, і кожне ребро графа Татта — Коксетера пов'язує узгодження K6 до кожного з трьох складових ребер.
На основі цієї конструкції, Коксетер показав, що граф Татта — Коксетера — симетричний граф; він має групу з 1440 автоморфізмів, які можуть бути ідентифіковані за допомогою автоморфізмів групи перестановок на шести елементах (Коксетер, 1958b). Внутрішні автоморфізми цієї групи відповідають перестановці шести вершин графа specification; ці перестановки діють на граф Татта — Коксетера перестановкою вершин на кожній стороні його поділу на дві частини, зберігаючи при цьому кожну з двох сторін фіксованою у вигляді набору. Крім того, зовнішні автоморфізми групи перестановок міняють одну сторону двочасткового графа на іншу. Як показав Коксетер, будь-який шлях до п'яти ребер в графі Татта — Коксетера еквівалентний будь-якому іншому такому шляху на один такий автоморфізм.
Галерея
Хроматичне число графа Татта - Корсетера дорівнює 2.
Хроматичний індекс графа Татта - Корсетера дорівнює 3.
Примітки
- Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989.
- Coxeter, H. S. M. (1958a). The chords of the non-ruled quadric in PG(3,3). Canad. J. Math. 10: 484–488. doi:10.4153/CJM-1958-047-0.
- Coxeter, H. S. M. (1958b). Twelve points in PG(5,3) with 95040 self-transformations. Proceedings of the Royal Society A 247 (1250): 279–293. JSTOR 100667. doi:10.1098/rspa.1958.0184.
- Sylvester, J. J. (1844). Elementary researches in the analysis of combinatorial aggregation. Phil. Mag. Series 3 24: 285–295.
- Tutte, W. T. (1947). A family of cubical graphs. Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. doi:10.1017/S0305004100023720.
- Tutte, W. T. (1958). The chords of the non-ruled quadric in PG(3,3). Canad. J. Math. 10: 481–483. doi:10.4153/CJM-1958-046-3.
Посилання
- François Labelle. 3D Model of Tutte's 8-cage.
- Weisstein, Eric W. Levi Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Exoo, G. «Rectilinear Drawings of Famous Graphs.»