Група Кліфорда
У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.
Означення
Нехай K є деяким полем, V — скінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і — групу оборотних елементів цієї алгебри.
Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.
Для можна ввести лінійне відображення задане як
Якщо є анізотропним елементом (тобто ), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, і . Тоді Якщо ж вектор є ортогональним до , то для добутку Кліффорда і Тобто у цьому випадку звуження на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до . Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо . Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.
Група Кліфорда є за означенням множиною оборотних елементів алгебри Кліфорда для яких
- , для всіх
Спеціальна група Кліфорда (позначається або ) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.
Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.
Властивості
Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.
- Якщо елемент то і
- Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як то для
- тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K*.
- Образом групи Кліфорда при відображенні є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні є спеціальна ортогональна група.
- Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для спінорна норма є рівною і для всіх також Тоді, якщо то Тобто є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать і згідно теореми Картана — Д'єдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то є сюр'єктивним.
- На основі попередніх властивостей одержуються точні послідовності:
- Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.
Література
- Garling, D. J. H. (2011). Clifford algebras. An introduction. London Mathematical Society Student Texts 78. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl 1235.15025.