Група бордюру

Формально, група бордюру — це клас нескінченних дискретних груп симетрії візерунків на стрічці (нескінченно широкому прямокутнику), а отже, це клас груп рухів на площині або стрічці. Група симетрії групи бордюру обов'язково містить паралельні перенесення і може містити ковзні симетрії, відбиття вздовж осі стрічки, відбиття поперек осі стрічки і обертання на ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Існує сім груп бордюру, їх показано нижче в таблиці. Багато авторів перераховують групи бордюру в іншому порядку[1][2].

Фактичні групи симетрії всередині групи бордюру характеризуються найменшою відстанню паралельного перенесення і, для груп бордюру з вертикальною симетрією або поворотом на ${\displaystyle 180^{\circ }}$ (групи 2, 5, 6 і 7), місцем розташування осі симетрії або центру повороту. У разі груп симетрії на площині додатковими параметрами є напрям вектора перенесення і, для груп бордюру з горизонтальною віссю симетрії, ковзна симетрія, або поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$ (групи 3-7), положення осі відбиття або центру обертання. Таким чином, є два ступені вільності для групи 1, три для груп 2, 3, 4 і чотири для груп 5, 6 і 7.

Для двох із семи груп бордюру (групи 1 і 4) групи симетрії породжуються одним елементом, для чотирьох груп (групи 2, 3, 5 і 6) вони породжуються двома генераторами, а для групи 7 групи симетрії вимагають трьох генераторів. Група симетрії в групах бордюрів 1, 2, 3 чи 5 є підгрупою групи симетрії останньої групи бордюру з тією самою відстанню паралельного перенесення. Група симетрії в групах бордюру 4 і 6 є підгрупою групи симетрії останньої групи бордюру з половинною відстанню паралельного перенесення. Остання група бордюру містить групу симетрії найпростішого періодичного візерунка на смузі (або площині) — послідовності точок. Будь-яке перетворення площини, що залишає недоторканим цей візерунок, можна розкласти на паралельне перенесення (x,y) → (n+x,y) і, можливо, відбиття відносно горизонтальної осі (x,y) → (x,−y) або вертикальної осі (x,y) → (−x,y) у припущенні, що осі обрано посередині двох сусідніх точок, або повороту на кут ${\displaystyle 180^{\circ }}$, (x,y) → (−x,−y). Таким чином, ця група бордюру містить «найбільшу» групу симетрії, яка складається з усіх цих перетворень.

Вимога дискретності вводиться для виключення групи, що містить усі паралельні перенесення, і груп, що містять довільно малі паралельні перенесення (наприклад, групи горизонтального перенесення на будь-яку раціональну відстань).

Вимога нескінченності вводиться для виключення груп, що не мають паралельного перенесення:

• група тільки з тотожним рухом (ізоморфна C₁, тривіальна група порядку 1);
• група, що складається з тотожного руху і відбиття відносно горизонтальної осі (ізоморфна C₂, циклічна група порядку 2);
• групи, що складаються з тотожного руху і відбиття відносно вертикальної осі;
• групи, що складаються з тотожного руху і повороту на ${\displaystyle 180^{\circ }}$навколо точки, розташованої на горизонтальній осі;
• групи, що складаються з тотожного руху і відбиття відносно вертикальної осі, відбиття відносно горизонтальної осі і повороту на ${\displaystyle 180^{\circ }}$ навколо точки перетину цих осей (ізоморфна 4-групі Клейна).

Існує сім різних підгруп (з точністю до масштабу) в групі дискретних бордюрів, що генеруються паралельним перенесенням, відбиттям (уздовж осі бордюру) і поворотом на ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Кожна з цих підгруп є групою симетрії бордюру і прості бордюри показано на рис. 1. Сім різних груп відповідають сімом нескінченним серіям груп осьової симетрії тривимірного простору, з ${\displaystyle n=\infty }$[3].

Групи бордюру позначаються з використанням нотації Германа — Могена, міжнародної кристалографічної нотації[4], орбіфолдної нотації, нотації Коксетера і за допомогою символів Шенфліса:

Групи бордюру

IUC	Кок- сетер	Шён- фліс* Група	Діаграма§ Орбіфолд	Приклади позначення Конвея[5]	Опис
p1	[∞]+	C∞ Z∞	∞∞	F F F F F F F F hop (стрибати на одній нозі)	(T) Тільки паралельне перенесення. Цю групу створює один генератор, переносячи на найменшу відстань для даного періодичного візерунка.
p11g	[∞+,2+]	S∞ Z∞	∞×	FℲ FℲ FℲ FℲ FℲ step (крок)	(TG) Ковзна симетрія і перенесення. Ця група створюється одним генератором (ковзною симетрією), паралельне перенесення виходить як результат двох ковзних симетрій.
p1m1	[∞]	C∞v Dih∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ sidle (йти боком)	(TV) Відбиття відносно вертикальної осі і перенесення. Група та сама, що й нетривіальна група одновимірного випадку. Група будується за допомогою паралельного перенесення і відбиття відносно вертикальної осі.
p2	[∞,2]+	D∞ Dih∞	22∞	S S S S S S S S spinning hop (стрибки з поворотом)	(TR) Перенесення і поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$: Група створюється двома генераторами — перенесенням і поворотом на ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
p2mg	[∞,2+]	D∞d Dih∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ spinning sidle (стрибки боком з поворотом)	(TRVG) Відбиття відносно вертикальної осі, ковзна симетрія, перенесення і поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$: Паралельне перенесення тут виходить як результат двох ковзних симетрій, так що група генерується ковзною симетрією і або обертанням, або вертикальною симетрією.
p11m	[∞+,2]	C∞h Z∞×Dih1	∞*	B B B B B B B B jump (стрибок)	(THG) Перенесення, відбиття відносно горизонтальної осі, ковзна симетрія. Ця група генерується перенесенням і відбиттям відносно горизонтальної осі. Ковзна симетрія виходить як перенесення + відбиття.
p2mm	[∞,2]	D∞h Dih∞×Dih1	*22∞	H H H H H H H H spinning jump (стрибок з поворотом)	(TRHVG) Відбиття відносно вертикальної і горизонтальної осей, паралельне перенесення і поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$: Для цієї групи потрібні три генератори. Один з генерувальних наборів складається з перенесення і відбиттів відносно обох осей.

^*Нотацію Шенфліса для точкової групи тут розширено для випадку нескінченного набору еквівалентних діедральних точкових симетрій

^§Діаграма показує одну фундаментальну область, виділену жовтим кольором. Осі відбиття показано синім кольором, осі ковзної симетрії — зеленим пунктиром, а точки обертання — зеленими квадратиками.

Як ми бачимо, з точністю до ізоморфізму, існує чотири групи: дві абелеві, і дві неабелеві.

Існують програмні графічні інструменти, що створюють двовимірні візерунки за допомогою груп бордюру. Зазвичай весь візерунок оновлюється автоматично під час редагування тексту.

• Kali — вільний застосунок для шпалер, бордюрів та інших візерунків.
  • Kali для Windows і Mac Classic.
• Tess — програма (nagware) для роботи з замощеннями для різних платформ, що підтримує шпалери, бордюри, а також мозаїк Хееша.
• FriezingWorkz — вільно поширюваний стек (застосунок для Hypercard) для платформи Classic Mac, підтримує групи бордюру.

• Frieze Patterns на Cut-the-Knot
• Illuminations: Frieze Patterns