Лишок

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка ${\displaystyle z=\infty \,}$ є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції ${\displaystyle f(z)\,}$, тоді лишком у нескінченності називається число

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=R}f(z)dz}$,

де ${\displaystyle R\,}$ — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}\,}$

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}=\lim _{z\to \infty }[z(f(\infty )-f(z))]}$

• Простий полюс у точці ${\displaystyle z=a\,}$:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)=\lim _{z\to a}(f(z)(z-a))}$

• Полюс кратності n у точці ${\displaystyle z=a\,}$:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[f(z)(z-a)^{n}]}}$

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$, і ${\displaystyle h(a)=0,h'(a)\neq 0\,}$, то:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={\frac {g(a)}{h'(a)}}}$

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

${\displaystyle f(z)=(2z-1)\cos {\frac {z}{z-1}}=(2(z-1)+1)\cos \left(1+{\frac {1}{z-1}}\right)=(2(z-1)+1)(\cos 1\cos {\frac {1}{z-1}}-\sin 1\sin {\frac {1}{z-1}})}$

Розвинемо ${\displaystyle \cos {\frac {1}{z-1}}\,}$ та ${\displaystyle \sin {\frac {1}{z-1}}\,}$ в ряд Лорана:

${\displaystyle \cos {\frac {1}{z-1}}=1-{\frac {1}{2!(z-1)^{2}}}+{\frac {1}{4!(z-1)^{4}}}-...}$

${\displaystyle \sin {\frac {1}{z-1}}={\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{3!(z-1)^{3}}}+{\frac {1}{5!(z-1)^{5}}}-...}$

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

${\displaystyle \mathrm {res} _{z=1}=C_{-1}=-\cos 1-\sin 1\,}$