Числа Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула: ${\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} }$

• Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім ${\displaystyle B_{1}}$, дорівнюють нулю, знаки ${\displaystyle B_{2n}}$ міняються.
• Числа Бернуллі є значеннями при ${\displaystyle x=0}$ многочленів Бернуллі: ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$.

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

• Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi }$,

• ${\displaystyle x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi }$,
• ${\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2}$.
• Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана ${\displaystyle \zeta (s)}$ при парних ${\displaystyle s=2m}$:

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}$

Із чого випливає

${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}$ для всіх n.

• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,n=1,2,...}$

У математиці, числа Бернуллі B_n є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є B_n = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B₁ = −1/2, але деякі автори використовують B₁ = +1/2 і деякі пишуть B_n для B_2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

• Абрамович В. Числа Бернуллі, Квант, № 6, 1974;