Дельта-метод

Доведення твердження досить просте у випадку неперервної похідної ${\displaystyle g'(\theta )}$. Для початку скористаємось теоремою Лагранжа про середнє:

${\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta ),}$

дe ${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$ знаходиться між X_n тa ${\displaystyle \theta }$. Зауважте, що оскільки ${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta }$ тa ${\displaystyle X_{n}<{\tilde {\theta }}<\theta }$, то відповідно маємо ${\displaystyle {\tilde {\theta }}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta }$ і оскільки ${\displaystyle g'(\theta )}$ неперервна, то, застосовуючи теорему про неперервне відображення, маємо

${\displaystyle g'({\tilde {\theta }})\,{\xrightarrow {P}}\,g'(\theta ),}$

дe ${\displaystyle {\xrightarrow {P}}}$ позначає збіжність за розподілом.

Після тривіальних перетворень і множення на  ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ маємо

${\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ].}$

Оскільки

${\displaystyle {{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]{\xrightarrow {D}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}}$

за припущенням і використовуючи теорему Слуцького випливає

${\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]{\xrightarrow {D}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}.}$

Що й треба було показати.

Альтернативно, можна було б додати ще один крок в кінці для отримання порядкового наближення:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]&=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]={\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\left[g'({\tilde {\theta }})+g'(\theta )-g'(\theta )\right]\\&={\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\left[g'(\theta )\right]+{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\left[g'({\tilde {\theta }})-g'(\theta )\right]\\&={\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\left[g'(\theta )\right]+O_{p}(1)\cdot o_{p}(1)\\&={\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\left[g'(\theta )\right]+o_{p}(1)\end{aligned}}}$

Що показує прямування наближення за ймовірністю до нуля.