Збіжність за мірою

Хай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — простір з мірою ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ^{m},\;n=1,2,\ldots }$ — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ збігається за мірою до функції ${\displaystyle f}$, якщо: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mu (\{x\in X\mid \|f_{n}(x)-f(x)\|>\varepsilon \})=0}$.

Позначення: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$.

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\P )}$ з визначеними на ньому випадковими величинами ${\displaystyle X_{n},X,\;n=1,2,\ldots }$, то говорять, що ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ збігається за ймовірностю до ${\displaystyle X}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\P (|X_{n}-X|>\varepsilon )=0}$.

Позначення: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {\P }{\longrightarrow }}X}$.

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається за мірою до ${\displaystyle f}$, то в неї існує підпослідовність ${\displaystyle f_{n_{k}}}$, що збігається до ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ - майже всюди.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається за мірою до ${\displaystyle f}$, і ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g}$, де ${\displaystyle g\in L^{p},\;p\geqslant 1}$, то ${\displaystyle f_{n},f\in L^{p}}$, і ${\displaystyle f_{n}}$ збігається до ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle L^{p}}$.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається ${\displaystyle \mu }$-майже усюди до ${\displaystyle f}$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ збігається в ${\displaystyle L^{p}}$ до ${\displaystyle f}$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність випадкових величин ${\displaystyle X_{n}}$ збігається за ймовірністю до ${\displaystyle X}$, то вона збігається до ${\displaystyle X}$ і за розподілом.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)