Закон Гука

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для визначення деформації довгого тонкого стрижня або пружини.

Для розтягу/стискання закон записується як:

${\displaystyle F=-k\Delta x}$,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, ${\displaystyle \Delta x}$ — видовження. Знак мінус показує, що сила напрямлена у протилежний бік до деформації. У цій формулі коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не матеріалу, з якого він виготовлений. Він залежить від матеріалу, але також залежить від довжини стрижня, площі його перерізу, і, якщо мова йде про пружину, від її форми (діаметру і відстані між витками).

Коефіцієнт жорсткості стрижня довжиною ${\displaystyle l_{0}}$ і площею перерізу ${\displaystyle S}$ пов'язаний з модулем Юнга ${\displaystyle E}$ як[1]:

${\displaystyle k={\frac {E\cdot S}{l_{0}}}}$

Варто зазначити, що межі застосування закону Гука для розтягу і стиску можуть сильно відрізнятися: такі матеріали як дерево витримують значно більші напруження при розтягу, ніж при стиску, у той час як метали або цемент — навпаки[2].

Закон Гука для зсуву:

${\displaystyle F=\gamma \cdot N\cdot S}$,

де N — модуль зсуву, ${\displaystyle \gamma }$ — кут зсуву, а ${\displaystyle S}$ — площа поперечного перерізу (перпендикулярного напрямку зсуву)[3].

Інший варіант запису цієї формули[3]:

${\displaystyle \tau =\gamma N}$,

де ${\displaystyle \tau }$ — дотична напруга

Для кручення, що є особливим видом зсуву, закон Гука записується як[3]:

${\displaystyle M=G\phi }$,

де ${\displaystyle M}$ — момент сили, ${\displaystyle G}$ — модуль кручення а ${\displaystyle \phi }$ — кут кручення.

Модуль кручення у випадку кручення циліндра радіусом ${\displaystyle r}$ і висотою ${\displaystyle L}$, пов'язаний з модулем зсуву як[3]:

${\displaystyle G={\frac {\pi Nr^{4}}{2L}}}$

Для згину можна сформулювати наступний аналог закону Гука[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {M_{z}}{I_{z}E}}}$,

де ${\displaystyle 1/R}$ — кривина нейтральної осі стрижня, а ${\displaystyle I_{z}}$ — момент інерції стрижня відносно цієї осі.

Можна визначити потенціальну енергію стиснутої або розтягнутої пружини, що підкоряється закону Гука, інтегруючи рівняння ${\displaystyle F=-k\Delta }$ x. Вона буде дорівнювати:

${\displaystyle U={\frac {k\Delta x^{2}}{2}}}$

Аналогічний вигляд мають формули для потенціальної енергії і для інших типів деформації.

Будь-яку деформацію можна розкласти як комбінацію деформацій розтягу-стиску і зсуву, тому закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь, що містить три рівняння для деформацій розтягу-стиску:

${\displaystyle {\begin{matrix}\epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})}{E}}\\\epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})}{E}}\\\epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})}{E}}\end{matrix}}}$

де ε — Відносне видовження вздовж осі, ${\displaystyle \nu }$ — коефіцієнт Пуассона, σ — напруження розтягу-стиску, E — модуль Юнга.

І три рівняння для деформацій зсуву:

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}\\\gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}}\\\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}\end{matrix}}}$

де γ — кут зсуву в точці, τ — напруження зсуву в точці, G — модуль зсуву.

У більш компактній формі закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

${\displaystyle \sigma _{ik}=\sum _{lm}\lambda _{iklm}\varepsilon _{lm}}$,

де ${\displaystyle \sigma _{ik}}$ — тензор механічних напружень, ${\displaystyle \varepsilon _{lm}}$ — тензор деформації, а ${\displaystyle \lambda _{iklm}}$ — тензор четвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і є характеристикою речовини.

Механічним напруженням називають міру внутрішніх сил, що виникають у твердому тілі при його деформації. Чисельно напруження дорівнює відношенню сили, що діє на невелику ділянку всередині тіла, до площі цієї ділянки(таким чином, одиницею вимірювання напруження є паскаль). Напруження має деяке значення у кожній точці всередині тіла, і деякою мірою є подібним до тиску у газах чи рідинах, але, на відміну від тиску, є векторною величиною. У тих межах, де закон Гука виконується, напруження прямо пропорційне відносному видовженню. Коефіцієнт пропорційності між цими величинами не залежить від форми або розмірів об'єкту, а лише від матеріалу, з якого він зроблений. Цей коефіцієнт називається модулем Юнга[5].