Дробовий шум

Дробовий шум в електричних колах складається з випадкових флуктуацій електричного струму, зумовлених тим, що струм насправді є потоком дискретних зарядів, здебільшого електронів. Оскільки заряд електрона дуже малий, дробовий шум відносно незначний у більшості випадків, але не завжди. Наприклад струм силою 1 ампер складається з приблизно 7018624000000000000♠6.24×10¹⁸ електронів за секунду; попри те, що ця кількість кожної секунди випадково флуктуює на кілька мільярдів, ці флукутації малі в порівнянні з самим струмом. Крім того дробовий шум часто незначний в порівнянні з двома іншими причинами шуму — флікер-шумом (рожевий шум) та тепловим шумом. Однак, дробовий шум, на відміну від теплового, не залежить від температури, й на відміну від флікер-шуму, від частоти (спектральна густина флікер-шуму зменшується зі зростанням частоти). Тому за низьких температур та на високих частотах дробовий шум може бути головним джерелом шуму.

Коли струми дуже малі, а часові проміжки короткі (ширша смуга частот), дробовий шум може бути значним. Наприклад, мікрохвильові пристрої працюють з характерним періодом, меншим від наносекунди, і коли струм дорівнює 16 наноамперам, це означає, що через переріз провідника за наносекунду проходять тільки 100 електронів. За розподілом Пуассона число електронів у секунду змінюватиметься приблизно на 10, так що в шостій частині наносекунд через провідник проходитиме менше, ніж 90 електронів, а в іншій шостій частині проходитиме понад 110 електронів. Тож у випадку такого малого струму й такого малого відтинку часу дробовий шум становитиме 10% від середнього струму.

Шотткі, взявши за основу Пуассонів розподіл, отримав[2] для спектральної густини струму з частотою ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle S(\omega )=2e\vert I\vert \ ,}$

де ${\displaystyle e}$ позначає заряд електрона, а ${\displaystyle I}$ — середню силу струму. Спектральна густина шуму не залежить від частоти, тож він є білим. Це класичний результат у тому сенсі, що він не враховує статистику Фермі-Дірака. Цей результат можна об'єднати з формулою Ландауера, що пов'язує середній струм з власними значеннями оператора проходження ${\displaystyle T_{n}}$ контакту, за допомогою якого вимірюється струм (${\displaystyle n}$ позначає канали проходження). У найпростішому випадку ці власні значення оператора проходження можна вважати незалежними від енергії, тоді формула Ландауера має вигляд

${\displaystyle I={\frac {e^{2}}{\pi \hbar }}V\sum _{n}T_{n}\ ,}$

де ${\displaystyle V}$ — прикладена напруга. Це дає

${\displaystyle S={\frac {2e^{3}}{\pi \hbar }}\vert V\vert \sum _{n}T_{n}\ ,}$

що зазвичай називають пуассоновим значенням дробового шуму ${\displaystyle S_{P}}$. Правильний результат, що бере до уваги квантову статистику (при нульовій температурі), має вигляд

${\displaystyle S={\frac {2e^{3}}{\pi \hbar }}\vert V\vert \sum _{n}T_{n}(1-T_{n})\ .}$

Його отримали в 1990-х Віктор Хлус, Горді Лесовик (незалежно, для одноканального випадку) та Маркус Бюттікер (багатоканальний випадок)[2]. Цей шум білий і завжди менший від пуассонового значення. Ступінь подавлення ${\displaystyle F=S/S_{P}}$, називають фактором Фано. Шуми різних транспортних каналів незалежні. Повністю відкритий (${\displaystyle T_{n}=1}$) та повністю закритий (${\displaystyle T_{n}=0}$) канали не шумлять, бо для них нема особливостей електронного потоку.

Можна записати також вираз для шуму при ненульовій температурі[2]. Він є інтерполяцією між дробовим та тепловим шумами.

• Тунельному переходу властиве мале пропускання в усіх каналах, тому потік електронів пуассонів, і фактор Фано дорівнює одиниці.
• Точковий квантовий контакт має ідеальне пропускання в усіх каналах, тому не створює шуму, а фактор Фано для нього дорівнює нулю. Винятком є сходинка між плато, коли один із каналів відкривається і створює шум.
• Металевий провід має фактор Фано 1/3 незалежно від геометрії та конкретики матеріалу[3].
• У двовимірному електронному газі в умовах дробового квантового ефекту Холла електричний струм переноситься квазічастинками, що рухаються по краях зразка і мають дробовий електричний заряд. Перше пряме вимірювання цього заряду було через дробовий шум у струмі[4].

Тоді, коли внесок електронів у струм загалом цілком випадковий, і вони не впливають один на одного, існують важливі ситуації, в яких такі природні флуктуації сильно знижуються через накопичення зарядів. Нехай, як у попередньому прикладі між точкою A та точкою B кожної наносекунди проходять 100 електронів. За першу половину наносекунди можна сподіватися, що в середньому в точку B прибуде 50 електронів, але нехай в якусь половину наносекунди прибуде 60 електронів. Це створить у точці B від'ємний заряд, більший від середнього, і цей додатковий заряд упродовж другої половини наносекунди відштовхуватиме інші електрони в потоці з точки А. Тому струм, просумований за всю наносекунду залишатиметься ближче до середнього значення 100 електронів, а не флуктуюватиме з амплітудою в 10 електронів. Так відбувається в звичайних металевих проводах та в плівкових резисторах, де дробовий шум майже повністю компенсований цією антикореляцією потоку електронів, між якими діє кулонівське відштовхування.

Однак таке зменшення дробового струму не відбувається, коли струм є результатом випадкових подій поблизу потенціального бар'єру, через який електрони повинні перестрибнути завдяки випадковому тепловому збудженню, а потім швидко віддаляються від нього. Така ситуація характерна для p-n переходів[5][6]. Тому напівпровідниковий діод широко використовують як джерело шуму, пропускаючи через нього постійний струм.

Дробовий шум відрізняється від флуктуацій напруги та електричного струму в стані термодинамічної рівноваги. Такі флуктуації називають тепловим шумом. Вони зростають зі збільшенням температури будь-якого елемента кола з опором. Проте, тепловий шум, як і дробовий є білим, а тому розрізнити їх при простому спостереженні неможливо попри різну природу.

Оскільки дробовий шум є пуассоновим процесом і зумовлений дискретністю електричного заряду, можна розрахувати корінь з квадрату середнього флуктуаційного струму як

${\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {2\,q\,I\,\Delta f}}}$

де q позначає елементарний заряд, Δf є шириною частотної смуги, в якій розглядається шум, а I — сила струму.

Для сили струму 100 мА і частотної смуги 1 Гц

${\displaystyle \sigma _{i}=0,18\,}$ нА.

Якщо пропустити такий струм через резистор, шум в падінні напруги буде

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{i}\,R}$.

Якщо подати такий шум на ємність, можна отримати шум у потужності

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\,q\,I\,\Delta fR.}$

В оптиці дробовий шум описує флуктуації числа детектованих фотонів через те, що вони приходять незалежно один від одного. Це ще один наслідок дискретизації, цього разу дискретизації енергії електромагнітного поля у вигляді квантів світла. При детектуванні фотонів детектування — випадковий процес передачі енергії, наприклад, фото-електрону, що призводить до збільшення ефективного дробового шуму в детекторі з квантовою ефективністю, меншою від одиниці. Тільки в екзотичному стиснутому когерентному стані число фотонів, зареєстрованих за одиницю часу, флуктуює менше ніж корінь квадратний із математичного сподівання числа фотонів. Звісно, існують інші механізми шуму в оптичних сигналах, в порівнянні з якими внесок дробового шуму незначний. Але тоді, коли такі механізми відсутні, говорять, що оптичне детектування обмежене фотонним шумом, оскільки залишається тільки дробовий («квантовий» або фотонний) шум.

Дробовий шум легко спостерігається в фотопомножувачах та лавинних фотодіодах, що працюють в режимі лічильника Гейгера, коли можна детектувати окремі фотони. Утім такий шум існує в будь-якому фотодетекторі, що реєструє більші потоки світла. Його можна виміряти безпосередньо, якщо він переважає шум у електронному підсилювачі. Як і з іншими видами дробового шуму, флуктуації фотоструму через дробовий шум пропорційні квадратному кореню середньої інтенсивності:

${\displaystyle (\Delta I)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \left(I-\langle I\rangle \right)^{2}\rangle \propto I.}$

Дробовий шум когерентного оптичного пучка (коли відсутні інші джерела шуму) є фундаментальним фізичним явищем, що відображає нульові коливання електричного поля. Вони встановлюють нижню границю шуму в квантових підсилювачах, що зберігають фазу сигналу.