Трансфінітне число

Як і кінцеві числа, трансфінітні числа можуть подаватися двома способами: це порядкові і кардинальні числа. На відміну від кінцевих ординалів і кардиналів, трансфінітними визначається різний клас чисел.

• ω (омега) визначається як найменше трансфінітне порядкове число з типом ордера натуральних чисел, що знаходяться під звичайною лінійною впорядкованістю.

• Алеф-нуль, ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}$, визначається як перше трансфінітне кардинальне число і являє собою потужність з нескінченною множиною натуральних чисел. Якщо аксіоми вибору виконується, більш високе кардинальне число як алеф-один ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{1}}}$. Якщо ні, то можуть бути й інші кардинали, які незрівнянні з алеф-один і більші, ніж алеф-нуль. Але в будь-якому випадку, немає ніяких кардиналів між алеф-нуль і алеф-один.

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує ніяких проміжних чисел ніж алеф-нуль і потужності континуума (безліч дійсних чисел): тобто, алеф-один це потужність множини дійсних чисел. (Якщо теорія Цермело-Френкеля (ZFC) несуперечлива, то ні континуум-гіпотези, ні його заперечення не може бути доведено з ZFC .)

Деякі автори як П. Суппес і Дж. Рубін, використовують термін трансфінітних кардиналів в умовах, коли це не може бути еквівалентно «нескінченного кардинала», тобто в умовах, коли Аксіома лічильного вибору не передбачається і не відома, щоб триматися. Виходячи з цього визначення, є наступні еквівалентні:

• м це трансфінітний кардинал. Тобто, існує нескінченна безліч дедекіндових А такий, що потужність A є м.
• м + 1 = м.
• ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}$ ≤ м.
• є кардинальне п таке, що ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}$ + п = м.

В кінці 1883 році німецький вчений Георг Кантор, очевидно, оцінивши багатовікову історію послідовного узагальнення чисел, в якій натуральні числа були узагальнені раціональними, а ті в свою чергу — дійсними, а ті — комплексними, а ті — векторними, а ті — матричними, створив на цьому матеріалі свою теорію трансфінітних (нескінченних, позамежних) чисел. Для цього він назвав безліччю всякий набір елементів, який можна зіставити з частиною самого себе, як наприклад, цілі числа зіставляються з парними числами: Кантор помітив, що така безліч повинне містити нескінченне число елементів. А якщо ці елементи співставні з безліччю натуральних чисел, то їх кількість утворюється перша трансфінітних число א 0 (алеф-нуль — з івриту). Але безліч א 0 теж нескінченно багато, і вони разом, як кількість елементів нового безлічі, утворюють наступне трансфінітних число א 1. І так далі … Такою гарною теорією Кантор завершив узагальнення чисел на 7-му рівні. І досі абстрактнішої за неї немає: поки ніщо не поглинуло трансфінітних числа. Однак правда й те, що трансфінітні числа не знайшли ще застосування за межами самої математики. Історія з нулем і комплексними числами знову повторюється для трансфінітних чисел: що ними можна моделювати? Вже більше століття не знають. Може, Кантор породив гарну, але мертву теорію? Кантор довго аналізував трансфінітні числа і встановив, що вони можуть моделювати або просто кількість (тоді це кількісні, кардинальні трансфінітні числа, наприклад — множина учнів у класі), або кількість і напрямок (тоді це порядкові, ординальні трансфінітні числа, наприклад — та ж множина учнів, але впорядкована за успішністю). Але ці властивості (кількість і напрямок) успішно моделюються числа менших рівнів узагальнення. А таблиця чисел підказує закономірність: щоб стати абстрактніше, нові числа повинні моделювати більше, розвиваючись від рівня до рівня або екстенсивно, міняючись кількісно (наприклад, в обліку моделюючих елементів числами рівнів 1, 2, 3: натуральні + нуль + негативні + ірраціональні; або в обліку модельованих напрямків числами рівнів 3, 4, 5, 6: одновимірно-двовимірні-тривимірні-багатомірні тощо).

• Абсолютно нескінченний
• Георг Кантор
• Кардинальне число
• Нескінченність плюс один
• Нескінченно малий
• Граничний
• Порядковий номер
• Трансфінітних індукцій

• Леві, Азріель, 2002 (1978) Основні теорії множин. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Коннор, J. J. and E. F. Robertson (1998) «Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор,» MacTutor історія математики архів.
• Рубін, Жан E., 1967. «Теорія множин для математики». Сан-Франциско: Holden-Day. Заснована в Морса-Келлі теорії множин.
• Руді Рукер, 2005 (1982) Нескінченність і розуму. Princeton Univ. Натисніть. В першу чергу вивчення філософської наслідки рай Кантора. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Патрік Суппес, 1972 (1960) «Аксіоматична теорія множин». Dover. ISBN 0-486-61630-4. Заснована в ЦФС.