Еліптичні функції Веєрштрасса

Нехай задана деяка ґратка ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тоді ${\displaystyle \wp }$-функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).}$

Можна побачити, що така функція буде ${\displaystyle \Gamma }$-періодичною на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, і тому є мероморфною функцією на ${\displaystyle E}$.

Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$ — «наївної» спроби задати ${\displaystyle \Gamma }$-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на ${\displaystyle \Gamma }$ має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як ${\displaystyle {\frac {1}{|w|^{2}}}}$, а сума ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}}$ по двовимірних ґратках ${\displaystyle \Gamma }$ є розбіжною.

• Функція Веєрштрасса ${\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}}$ — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
• Скориставшись розкладом ${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}}$ і посумувавши по ${\displaystyle w\in \Gamma \setminus \{0\}}$, можна одержати розклад в точці ${\displaystyle z=0}$ функції Веєрштрасса в ряд Лорана:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},}$ де ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}}$  — ряди Ейзенштейна для ґратки ${\displaystyle \Gamma }$ (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при ${\displaystyle z^{2}}$ і ${\displaystyle z^{4}}$ часто записують в іншій, традиційній формі:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$

де ${\displaystyle g_{2}}$ і ${\displaystyle g_{3}}$ — модулярні інваріанти ґратки ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).}$

Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0}$

(або в більш симетричній формі

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$

де ${\displaystyle u+v+w=0}$).

Також

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}$

і

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$

якщо ${\displaystyle 2z}$ не є періодом.

Будь-яка еліптична функція з періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ може бути представлена у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)}$ де h, g — раціональні функції, ${\displaystyle \wp (z)}$ — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у ${\displaystyle f(z)}$. Якщо при цьому ${\displaystyle f(z)}$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))}$, де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ є скінченним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел, з породжуючими елементами ${\displaystyle \wp (z)}$ і ${\displaystyle {\wp }'(z)}$.

• Еліптична функція
• Еліптична крива
• Еліптичні функції Якобі
• Ряди Ейзенштейна

1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6