Еліптична функція

Еліптичною функцією називають таку мероморфну функцію ${\displaystyle f}$, визначену на області ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , для якої існують два ненульові комплексні числа ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, таких що:

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z),\forall z\in \mathbb {C} }$

а також частка ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ не є дійсним числом.

З цього виходить, що для будь-яких цілих ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z)\forall z\in \mathbb {C} }$.

Будь-яке комплексне число ${\displaystyle \omega }$, таке що

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)\forall z\in \mathbb {C} }$,

називають періодом функції ${\displaystyle f}$. Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не рівна константі, то усі її періоди утворюють адитивну дискретну підгрупу комплексних чисел:

Дійсно якщо ${\displaystyle \omega _{1}}$ і ${\displaystyle \omega _{2}}$ два періоди еліптичної функції то ${\displaystyle -\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},0\,}$ теж є періодами, отже періоди утворюють адитивну групу. Щоб довести, що дана група є дискретною достатньо знайти константу ${\displaystyle C>0}$ таку, що єдиним періодом, що задовольняє нерівність ${\displaystyle |\omega |<C\,}$ є ${\displaystyle \omega =0\,}$. Нехай ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — деяка неособлива точка. Тоді в деякому околі цієї точки функція ${\displaystyle f(z)}$ рівна сумі свого ряду Тейлора:

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots }$

В достатньо малому околі ця сума домінується першим ненульовим членом, тож для деякої константи ${\displaystyle C>0}$ маємо:

${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<C\Longrightarrow f(z)\neq c_{0}}$

що й доводить твердження.

Усі дискретні адитивні підгрупи комплексних чисел ізоморфні ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ або ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$. Еліптичним функціям відповідає другий випадок. Такі групи називаються ґратками. Відповідно для кожної еліптичної функції не рівної константі існують фундаментальні періоди, тобто періоди ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ такі, що будь-який період ${\displaystyle \omega }$ може бути записано як:

${\displaystyle \omega =ma+nb\,}$.

Дана пара не є єдиною. Якщо a і b — фундаментальні періоди, що визначають деяку ґратку, то таку ж ґратку визначають і фундаментальні періоди d' і c' де d' = p a + q b і c' = r a + s b де p, q, r і s — цілі числа, що задовольняють рівність p s − q r = 1. Тобто детермінант матриці:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

рівний одиниці.

Паралелограм: ${\displaystyle \{\mu a+\lambda b\mid 0\leq \mu ,\lambda \leq 1\}}$ називається фундаментальним паралелограмом. На даному паралелограмі еліптична функція набуває всіх своїх значень.

• Будь-яка еліптична функція має скінченну кількість полюсів в межах фундаментального паралелограма.

Дане твердження випливає з того, що за означенням усі особливі точки цієї функції є ізольованими. Відповідно множина полюсів не має граничної точки, оскільки в усіх точках крім полюсів функція є неперервною. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною з теореми Больцано-Вейєрштраса випливає, що множина полюсів є скінченною.

• Еліптична функція, що не має жодного полюсу рівна константі:

Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не має полюсів то вона неперервна в усій множині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною, то для всіх його точок виконується нерівність ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ для деякого дійсного числа M. Зважаючи на періодичність дана нерівність виконуватиметься в усій комплексній площині. Отже ${\displaystyle f(z)}$ — обмежена, аналітична функція і згідно з теоремою Ліувіля вона рівна константі.

• Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не має полюсів на межі паралелограма ${\displaystyle \alpha +\Pi }$, то сума лишків ${\displaystyle f(z)}$ у всіх полюсах, що знаходяться всередині ${\displaystyle \alpha +\Pi }$ рівна нулю. (Друга теорема Ліувілля)

• Будь-яка еліптична функція з періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ може бути представлена у вигляді

${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)}$

Де h, g — раціональні функції, ${\displaystyle \wp (z)}$ — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у ${\displaystyle f(z)}$. Якщо при цьому ${\displaystyle f(z)}$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))}$, де h раціональна.

• Еліптичні функції не є елементарними, це було доведено Якобі в 1830-х роках.

• Множина еліптичних функцій з однаковими періодами утворює поле.

• Похідна еліптичної функції теж є еліптичною функцією з тими ж періодами.

• Еліптичні функції Вейєрштрасса
• Еліптичні функції Якобі

• «Эллиптические кривые», Э. Кнэпп, Москва, издательство «Факториал Пресс», 2004 год. §6.2 Эллиптические функции.
• «Введение в теорию функций комплексного переменного», И. И. Привалов, Москва, Государственное издание физико-математической литературы, 1960 год. Глава 11.