Ряди Ейзенштейна

Дійсна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Уявна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги ${\displaystyle 2k}$: для будь-яких цілих ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ з ${\displaystyle ad-bc=1}$ маємо

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).}$

Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і ${\displaystyle \tau }$ ґратки ${\displaystyle \Gamma =\langle 1,\tau \rangle }$, продовживши його на весь простір ґраток:

${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.}$

Тоді ${\displaystyle G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).}$ Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису ${\displaystyle \{\tau ,1\}}$ до базису ${\displaystyle \{a\tau +b,c\tau +d\}}$ тієї ж ґратки (що не змінює значення ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )}$) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.

Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги ${\displaystyle 2m}$) виражається як многочлен від ${\displaystyle G_{4}}$ і ${\displaystyle G_{6}}$:

${\displaystyle f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.}$

${\displaystyle \wp }$-функція Вейєрштрасса еліптичної кривої ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ розкладається в ряд Лорана в нулі як

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.}$

Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні

${\displaystyle g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.}$

Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від ${\displaystyle G_{4}}$ і ${\displaystyle G_{6}}$. Зокрема, ${\displaystyle G_{2k}}$ вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від ${\displaystyle G_{4}}$ і ${\displaystyle G_{6}}$. Нехай ${\displaystyle d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4}}$. Тоді ${\displaystyle d_{k}}$ задовільняють співвідношення

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}$

для всіх ${\displaystyle n\geq 0}$. Тут ${\displaystyle {n \choose k}}$ — біноміальний коефіцієнт і ${\displaystyle d_{0}=3G_{4}}$ і ${\displaystyle d_{1}=5G_{6}}$.

Вираз ${\displaystyle d_{k}}$ трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}}$

Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} ).}$ Оскільки простір модулярних форм ваги ${\displaystyle 2k}$ має розмірність 1 для ${\displaystyle 2k=4,6,8,10,14}$ різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10}\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:

${\displaystyle (1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

отже

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

для числа ${\displaystyle r_{\Gamma }(n)}$ векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E₈.