Задача однієї плитки

Задача однієї плитки (англ. einstein problem) — геометрична проблема, яка ставить питання про існування однієї протоплитки, яка утворює неперіодичну множину плиток, тобто про існування фігури, копіями якої можна замостити простір, але тільки неперіодичних способом. У джерелах англійською мовою такі фігури називають «einsteins» — гра слів, нім. ein stein означає «один камінь», і так само записується прізвище фізика Альберта Ейнштейна. Залежно від конкретного визначення неперіодичності, а саме, які множини можна вважати плитками і як їх можна з'єднувати, проблему можна вважати відкритою або вирішеною. Задачу однієї плитки можна розглядати як природне продовження другої частини вісімнадцятої проблеми Гільберта, в якій ставиться питання про багатогранник, копіями якого можна заповнити тривимірний евклідів простір, причому ніяке заповнення простору копіями цього багатогранника не повинно бути ізоедральним[1]. Такі неізоедральні тіла знайшов Карл Райнгард у 1928 році, але ці тіла заповнюють простір періодично.

Запропонований розв'язок
Плитка Соколара — Тейлор — запропонований розв'язок задачі однієї плитки.

У 1988 році Петер Шмітт виявив неперіодичну протоплитку для тривимірного евклідового простору. Хоча ніяке заповнення цим тілом не допускає паралельного перенесення, деякі заповнення мають гвинтову симетрію. Операція гвинтової симетрії є композицією паралельного перенесення і повороту на кут, несумірний з π, так що ніяке число повторень цих операцій не призведе до простого паралельного перенесення. Цю конструкцію пізніше використали Джон Конвей і Людвіг Данцер для побудови опуклої неперіодичної плитки — плитки Шмітта — Конвея — Данцера. Наявність гвинтової симетрії стала наслідком вимоги неперіодичності[2]. Хаїм Гудман-Штраус запропонував вважати мозаїки строго аперіодичними, якщо для них не існує нескінченної циклічної групи рухів евклідового простору, які є симетріями мозаїки, і називати строго аперіодичними тільки ті набори плиток, які приводять до строго аперіодичних мозаїк, інші набори плиток тоді називаються слабко аперіодичними[3].

У 1996 році Петра Гуммельт побудувала десятикутну плитку з малюнком і показала, що, дозволивши два типи перекриття пар плиток, ними можна замостити площину, причому тільки аперіодичним чином[4]. Зазвичай під мозаїкою розуміють заповнення без перекриття, так що плитку Гуммельт не можна вважати аперіодичною протоплиткою. Аперіодичну множину плиток на евклідовій площині, яка складається тільки з однієї плитки — плитки Соколара — Тейлор — запропонували на початку 2010-х років Джошуа Соколар і Джоан Тейлор[5]. Ця конструкція залучає правила з'єднання, правила, що обмежують відносну орієнтацію двох плиток, і правила з'єднання малюнків на плитках, і ці правила застосовуються до пар суміжних плиток. Можна використовувати плитки без малюнків і без правил орієнтації, але тоді плитки не будуть зв'язані. Побудову можна поширити на тривимірний простір з використанням зв'язувальних плиток і без правил з'єднання, але ці плитки можна викласти з періодичністю в одному напрямку, тому це лише слабко аперіодична мозаїка. Більш того, плитки не однозв'язні.

Існування строго аперіодичних множин, що складаються з однієї зв'язної плитки без правил з'єднання, залишається невирішеною проблемою.

Примітки
  1. Senechal, 1996, с. 22-24.
  2. Radin, 1995, с. 3543–3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000.
  4. Gummelt, 1996, с. 1–17.
  5. Socolar, Taylor, 2011, с. 2207-2231.

Посилання
  • Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // Geometriae Dedicata. — 1996. — Т. 62, вип. 1 (19 листопада). — DOI:10.1007/BF00239998.
  • Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — corrected paperback. — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 0-521-57541-9.
  • Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123, вип. 11 (19 листопада). — DOI:10.2307/2161105.
  • Chaim Goodman-Strauss. Open Questions in Tiling. — 2000. — 19 листопада. Архівовано з джерела 18 квітня 2007.
  • Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2011. — Т. 118 (19 листопада). — arXiv:1003.4279. — DOI:10.1016/j.jcta.2011.05.001.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.