Теселяція

Паркети інакше називають «заміщенням», «мозаїками» (англ. tessellation, tiling), «розбиттям площини» (англ. partition), «паркетажами». Замощення тривимірного простору і просторів вищих розмірностей часто називають стільниками.

Паркети з областями (плитками) довільної форми іноді називають «картами».

Якщо об'єднання кількох фігур містить дану фігуру Ф, то кажуть, що ці фігури утворюють покриття фігури Ф. При цьому фігури, які покривають можуть перекриватися, але покривають фігуру Ф без пробілів.

Упаковка — це розміщення всередині даної фігури декількох фігур, які не мають спільних точок, крім, можливо, граничних (тобто без перекриття).

Заміщення — це розбиття фігури на частини. Заміщення є одночасно покриттям і упаковкою.

Протоплитки паркету (англ. prototiles, також прототипи) — це плитки (форми), що входять в паркет. Кожна плитка паркету конгруентна однією з протоплиток.

Так, єдина протоплитка п'ятикутного паркету — правильний шестикутник; протоплиткою правильного сферичного п'ятикутного паркету є пентагон; множина протоплиток ромботришестикутного паркету складається з рівностороннього трикутника, квадрата і шестикутника.

Паркет називається k-едричним, якщо множина його протоплиток (протомножина) складається з k плиток.

Плитки паркету також називають гранями, а сторони багатокутних плиток — ребрами, за аналогією з термінологією для багатогранників.

Ромботришестикутний паркет складається з плиток трьох типів: рівносторонній трикутник, квадрат і шестикутник. Ці плитки розташовуються навколо кожної з вершин в такому порядку: трикутник, квадрат, шестикутник, квадрат. Такий порядок називається конфігурацією вершини паркету і записується в формі 3.4.6.4. У разі, якщо два і більше числа в цій послідовності йдуть підряд, використовується скорочений запис. При цьому записи, що відрізняються лише циклічною перестановкою чисел або зміною порядку запису на протилежний (наприклад, 3.3.4.3.4 і 4.3.3.4.3), позначають одну і ту ж конфігурацію вершини; в той же час запис 3.4.4.6 не є еквівалентним запису 3.4.6.4. У неоднорідних паркетах можуть зустрічатися вершини з різними конфігураціями.

Конфігурацією граней називається послідовність степенів вершин цієї межі при обході її в одному напрямку. Конфігурація граней записується послідовністю чисел в квадратних дужках або з префіксом V.

Якщо усі вершини деякого паркету мають одну і ту ж конфігурацію, то всі грані [ [Двоїстий багатогранник | двоїстого]] йому паркету мають одну і ту ж конфігурацію. Наприклад, конфігурації граней паркету, двоїстого ромботришестикутному паркету 3.4.6.4, записуються як V3.4.6.4.

Паркети, складені з однакових правильних багатокутників, називають правильними паркетами (англ. regular tilings). Існує три правильних заміщення площини: трикутний паркет, квадратний паркет і шестикутний паркет.

Правильні паркети
Трикутний паркет 36 Трикутний паркет 36  Квадратний паркет 44 Квадратний паркет 44  Шестикутний паркет 63 Шестикутний паркет 63

Правильні паркети називають також Платоновими паркетами .

Поліформи, що розташовуються на правильних паркетах, називаються відповідно поліамондами, полімін і полігексами.

Для позначення паркету з правильних p  — кутників, розташованих по q навколо кожної вершини, застосовується символ Шлефлі { p , q }. Символи Шлефлі трьох правильних мозаїк — {3,6}, {4,4} і {6,3}.

Паркети, що складаються з правильних багатокутників двох або більше типів, такі, що для будь-яких двох вершин паркету існує перетворення симетрії (самопоєднання), що переводить одну з них в іншу, називаються напівправильними паркетами або архімедовим паркетами.

Існує 8 напівправильних паркетів. Один з восьми напівправильних паркетів кирпатий тришестикутний паркет є хіральним, тобто не збігається з власним дзеркальним відображенням.

Напівправильні паркети (Архімедові паркети)

Усічений квадратний паркет 4.8.8 Усічений квадратний паркет 4.8.8  Кирпатий квадратний паркет 3.3.4.3.4 Кирпатий квадратний паркет 3.3.4.3.4  Тришестикутний паркет 3.6.3.6 Тришестикутний паркет 3.6.3.6  Усічений шестикутний паркет 3.12.12 Усічений шестикутний паркет 3.12.12  Ромботришестикутний паркет 3.4.6.4 Ромботришестикутний паркет 3.4.6.4  Ромбоусічений тришестикутний паркет 4.6.12 Ромбоусічений тришестикутний паркет 4.6.12  Ізокирпатий трикутний паркет 3.3.3.4.4 Ізокирпатий трикутний паркет 3.3.3.4.4  Кирпатий тришестикутний паркет (одна з двох дзеркальних копій) 3.3.3.3.6 Кирпатий тришестикутний паркет (одна з двох дзеркальних копій) 3.3.3.3.6

Однорідні паркети

Існує два визначення, що призводять до одного і того ж набору з 8 напівправильних паркетів на площині.

Перше, «локальне» визначення, полягає в тому, що вершинні конфігурації всіх вершин повинні збігатися. Іншими словами, послідовності граней навколо будь-яких двох вершин паркету повинні бути однаковими: одні і ті ж багатокутники повинні йти в одному і тому ж (або в протилежному) порядку.

Друге, «глобальне» визначення, вимагає, щоб для будь-яких двох вершин паркету існувало перетворення симетрії (самопоєднання паркету), що переводить одну з них в іншу.

Грюнбаум і Шепард поділяють терміни «архімедів паркет» і «однорідний паркет»: до першої групи відносяться паркети, відповідні «локального» визначення, а до другої — «глобального». Хоча на евклідовій площині дві ці множини збігаються, в інших просторах існують архимедові паркети, що не є однорідними.

У математичній літературі значення термінів «архімедів паркет», «напівправильний паркет» і «однорідний паркет» варіруюються.

«'Квазіправильний паркет»' (або багатогранник) — однорідний паркет (або багатогранник), що складається з граней двох видів, які чергуються навколо кожної вершини; іншими словами, кожна грань оточена гранями іншого типу.

На евклідовій площині існує лише один квазіправильний паркет — тришестикутний паркет з вершинною конфігурацією 3.6.3.6. На сфері існує два квазіправильних паркетів сферичних багатогранника — кубооктаедр і ікосододекаедр.

На площині Лобачевського існує безліч квазіправильних паркетів виду ${\displaystyle p.q.p.q}$, де ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}.}$.

Існує безліч неоднорідних паркетів, що складаються з правильних багатокутників.

Неоднорідні паркети з правильних багатокутників
32.62, 36 32.62, 36  32.62, 3.6.3.6 32.62, 3.6.3.6  32.4.12, 36 32.4.12, 36  3.42.6, 3.6.3.6 3.42.6, 3.6.3.6

Періодичні неоднорідні паркети можна класифікувати за кількістю орбіт вершин, ребер і граней. Якщо число орбіт вершин дорівнює «n», паркет називається «n»-однорідним або «n»-ізогональним; якщо число орбіт ребер дорівнює «n» — «n»-ізотоксальним. Вищенаведені приклади являють собою чотири з двадцяти 2-однорідних паркетів.

Неперіодична мозаїка P3, вперше опублікована Р. Пенроузом у 1978 році

Ромби Пенроуза з виступами і западинами, що забезпечують неможливість періодичного покриття без використання кольорових плиток і ліній

Двовимірна нерозбірна плитка Соколара — Тейлор

Розбиття T називається періодичним, якщо серед симетрій «T» існують два паралельні перенесення в непаралельних напрямках. У цьому випадку мозаїку можна вважати складаною з повторень невеликого фрагмента, викладеного із елементів у вузлах деякої решітки. Множина прототипів (протомножин) «P» називається «аперіодичною», якщо вона реалізується в якихось розбиттях площин, але жодне з них не є періодичним.

Перший приклад аперіодичної множини плиток був знайдений Робертом Берджером в 1966 році і включав в себе 20426 плиток Вана. Плитки Вана являють собою квадрати одного розміру з пофарбованими сторонами; при побудові мозаїки дозволено поєднувати плитки лише одноколірними сторонами і заборонено перевертати плитки.

Пізніше були знайдені аперіодичні протомножини з меншим числом плиток. Роджер Пенроуз виявив аперіодичні протомножини, що складаються з двох плиток.

У 2010 році Джошуа Соколар і Джоан Тейлор запропонували аперіодичну множину, що складається з єдиної плитки, яка являє собою правильний шестикутник з нанесеною розміткою у вигляді кольорових ліній і з додатковими обмеженнями, пов'язаними з взаємним розташуванням «'не'» торкаючись один одного. Існує модифікація, яка не використовує подібних обмежень, але використовує незв'язну плитку, тобто, плитку, що не є топологічним диском. Існування єдиної зв'язковий плитки без додаткової розмітки та обмежень, здатної покрити площину тільки аперіодично, залишається відкритою проблемою.

«'Сферичний паркет'» або «'сферичний багатогранник'» — розбиття сфери на сферичні багатокутники, великих кіл.

Кожному з 5 платонових тіл відповідає правильний сферичний паркет. Формально, нехай «S» — сфера з центром «O», що збігається з центром багатогранника «P». Проведені з «O» промені, що проходять через вершини багатогранника «P», перетинають сферу «S» в точках, які є вершинами відповідного сферичного паркету; ребра багатогранника «P» відповідають дугам великих кіл на «S».

Крім сферичних аналогів п'яти «платонових тіл», існує два сімейства правильних сферичних багатогранників, які не мають еквівалентів серед багатогранників з плоскими гранями: осоедри — багатогранники з двома вершинами, які перебувають на полюсах сфери, межі яких є конгруентними двокутниками, і діедри — двоїсті осоедрам двогранники, вершини яких знаходяться на екваторі сфери.

Зірчастий семикутний паркет в моделі Пуанкаре на верхній півплощині. Чорні лінії утворюють «'правильний семикутний паркет порядку 3»' (паркет, в кожній вершині якого сходяться три однакових правильних семикутника).

Правильний семикутний паркет порядку 3 в моделі Пуанкаре на диску

Аксіома паралельності Евкліда (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) свідчить:

У геометрії Лобачевського, замість неї приймається така аксіома:

Для зображення гіперболічної площини застосовується одна з існуючих моделей — модель Бельтрамі — Кляйна, конформний диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на півплощині.

На евклідовій площині існує лише три правильні паркети і 8 напівправильних. На гіперболічній площині існує нескінченна множина навіть правильних паркетів, включаючи паркети з сімома і більше рівносторонніми трикутниками навколо вершини, п'ятьма і більше квадратами, чотирма і більше правильними п'ятикутниками (паркет з трьома п'ятикутниками навколо вершини є сферичним додекаедром), чотирма і більше правильними шестикутниками і трьома і більш рівними правильними багатокутниками з кількістю сторін більше 6.

Задача визначення кількості паркетів, що складаються з опуклих багатокутників заданого типу, вирішена лише частково:

• Будь-яким трикутником або чотирикутником можна замістити площину.
• Відомо 15 п'ятикутників, здатних замістити площину; невідомо, чи є цей перелік повним. Проблема перерахування п'ятикутних паркетів має багату історію.
• Відомо 3 типи шестикутників, здатних замістити площину.
• Неможливо замістити площину однаковими опуклими багатокутниками з числом сторін, більшим або рівним семи.