Збіжність майже всюди

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — вимірний простір і ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$. Кажуть, що ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ збігається майже всюди (позначають ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$ - майже всюди), якщо

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$

Якщо ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — це ймовірнісний простір та ${\displaystyle X_{n},X}$ - випадкові величини, такі що:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1}$

то кажуть що послідовність ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ збігається майже напевно до ${\displaystyle X}$.

Спрощений запис:

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$

Еквівалентне означення:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega$ :\sup _{m\geq n}|X_{m}(\omega )-X(\omega )|\geq \varepsilon {\Big )}=0,\forall \varepsilon >0.}

Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega$ :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1}