Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Нехай ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — вимірні функції на просторі з мірою ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, що приймають значення в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ чи ${\displaystyle \mathbb {C} }$ і задовольняють умови :

• Послідовність функцій ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ збігається за мірою до функції ${\displaystyle f\;}$ на всій множині ${\displaystyle X}$.

• Існує функція ${\displaystyle g\in L^{1},}$ така що :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in X,|f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$

Тоді ${\displaystyle f\in L^{1}}$ і

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0}$

при чому виконується :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\int _{X}{\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,\lim _{n\to \infty }\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,f}d\mu }$

Доведемо, що ${\displaystyle f\in L^{1}}$ :

оскільки ${\displaystyle f\;}$ є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх ${\displaystyle n\;}$ виконується ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$, то здійснивши граничний перехід одержуємо, ${\displaystyle |f(x)|\leqslant g(x),\forall x\in X}$ звідки ${\displaystyle f\in L^{1}}$.

Використавши ${\displaystyle 2g-|f_{n}-f|\geqslant 0}$ і застосувавши лему Фату,

Оскільки ${\displaystyle \int g\ d\mu <\infty \;}$ то, ${\displaystyle \limsup \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \leqslant 0}$

звідки

${\displaystyle \lim \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu =0}$

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

• Умова мажорованості послідовності ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ інтегрованою функцією ${\displaystyle g}$ не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ - борелівська ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle [0,\;1]}$, а ${\displaystyle m}$ - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}}$

Тоді послідовність ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ не може бути мажорована інтегрованою функцією, і

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).}$

• В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ майже всюди.

Справді якщо позначити ${\displaystyle N_{k}=\{x:|f_{k}(x)|\geq g(x),\quad n\in \mathbb {N} \}}$ і ${\displaystyle N_{0}}$ — множина на якій послідовність ${\displaystyle f_{k}}$ не збігається до f, то ${\displaystyle \mu \left(N_{k}\right)=0}$ для всіх ${\displaystyle k\;}$. Позначивши ${\displaystyle N=\bigcup _{k=0}^{\infty }N_{k}}$ маємо ${\displaystyle \mu \left(N\right)=0}$ і перевизначивши ${\displaystyle f_{k}=0,f=0}$ на ${\displaystyle N}$ маємо, що ${\displaystyle f_{k},f}$ задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій ${\displaystyle \Omega }$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: ${\displaystyle X_{n}\to X}$ майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина ${\displaystyle Y}$, така що ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y}$ майже напевно. Тоді випадкові величини ${\displaystyle X_{n},\;X}$ інтегровні і

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X.}$

• Лема Фату
• Інтеграл Лебега
• Вимірна функція

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)