Клас Штіфеля — Вітні

Тут і далі, ${\displaystyle H^{i}(X;\;G)}$ позначає сингулярні когомології простору ${\displaystyle X}$ з коефіцієнтами в групі ${\displaystyle G}$.

Клас Штіфеля — Вітні визначається як відображення, що зіставляють розшаруванню ${\displaystyle E}$ елемент кільця когомологій ${\displaystyle w(E)}$ так, що виконуються наступні аксіоми:

1. Природність: ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$ для будь-якого розшарування ${\displaystyle E\to X}$ і відображення ${\displaystyle f:X'\to X}$, де ${\displaystyle f^{*}E}$ позначає відповідне індуковане розшарування над ${\displaystyle X'}$.
2. ${\displaystyle w_{0}(E)=1}$ в ${\displaystyle H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.
3. ${\displaystyle w_{1}(\gamma ^{1})}$ є ненульовим, де ${\displaystyle \gamma ^{1}}$ — тавтологічну розшаруванні. Іншими словами клас ${\displaystyle w(\gamma ^{1})}$ не є тривіальним.
4. ${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)}$ (формула добутку Вітні). Формула в правій частині є формальним записом і може бути записана через класи Штіфеля — Вітні як ${\displaystyle w_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}w_{i}(E)\smallsmile w_{k-i}(F),}$ де ${\displaystyle \smallsmile }$ позначає кап-добуток.

Можна показати, що класи, які задовольняють цим аксіомам, існують і є єдиними.

Класи Штіфеля — Вітні ${\displaystyle w_{i}(E)}$ були запропоновані Едуардом Штіфелем і Хасслером Вітні як приведення по модулю 2 класів, що вимірюють перешкоди до побудови ${\displaystyle (n-i+1)}$-го лінійно незалежного перетину ${\displaystyle E}$, обмеженого на ${\displaystyle i}$-ий остов ${\displaystyle X}$. (Тут ${\displaystyle n}$ — розмірність шару ${\displaystyle F}$ розшарування ${\displaystyle E}$).

Більш точно, якщо ${\displaystyle X}$ є CW-комплексом, Вітні визначив класи ${\displaystyle W_{i}(E)}$ в ${\displaystyle i}$-й групі клітинних когомологій ${\displaystyle X}$ з нестандартними коефіцієнтами.

А саме, як коефіцієнти можна взяти ${\displaystyle (i-1)}$-а гомотопічна група многовиду Штіфеля ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$ наборів з ${\displaystyle n-i+1}$ лінійно незалежних векторів в шарі ${\displaystyle F}$. Вітні довів, що для побудованих ним класів ${\displaystyle W_{i}(E)=0}$ тоді і тільки тоді, коли розшарування ${\displaystyle E}$, обмежене на ${\displaystyle i}$-остов ${\displaystyle X}$, має ${\displaystyle n-i+1}$ лінійно незалежний перетин.

Оскільки гомотопічна група ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$ многовиду Штіфеля завжди або є нескінченною циклічною, або ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, то існує канонічна редукція класів ${\displaystyle w_{i}(E)}$ до класів ${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}$, які і називаються класами Штіфеля — Вітні.

Зокрема, якщо ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}}$, то ці класи просто збігаються.

• Для многовида розмірності ${\displaystyle n}$, будь-який добуток класів Штіфеля — Вітні загального степеня ${\displaystyle n}$ може бути спареним з ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ фундаментальна класом цього многовида, даючи в результаті елемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$; такі числа називають числами Штіфеля — Вітні векторного розшарування. Наприклад, для розшарування на тривимірному многовиді є три лінійно незалежних числа Штіфеля — Вітні, що відповідають ${\displaystyle w_{1}^{3}}$, ${\displaystyle w_{1}w_{2}}$ і ${\displaystyle w_{3}}$. У загальному випадку, якщо многовид є ${\displaystyle n}$-вимірним, різні числа Штіфеля — Вітні відповідають розбиттю ${\displaystyle n}$ в суму цілих доданків.
  • Числа Штіфеля — Вітні дотичного розшарування до гладкого многовида називаються числами Штіфеля — Вітні цього многовид. Вони є інваріантами кобордизмів.
• Природному відображенню приведення по модулю два, ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}}$, відповідає гомоморфізм Бокштейна

  ${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).}$

Образ класу ${\displaystyle w_{i}}$ під його дією, ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )}$, називається ${\displaystyle (i+1)}$-им цілим класом Штіфеля — Вітні.

• Зокрема, третій цілий клас Штіфеля — Вітні є перешкодою до побудови ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{C}}$-структури.

• Якщо розшарування ${\displaystyle E^{k}}$ має ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }}$ перетинів, лінійно незалежних над кожною точкою, то ${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0}$. Зокрема оскільки тривіальне розшарування рангу ${\displaystyle k}$ завжди має ${\displaystyle k}$ лінійно незалежних перетинів то для тривіальних розшарувань ${\displaystyle w_{n}=0,\;n>0.}$
• З попереднього також для тривіального розшарування ${\displaystyle E}$ і довільного векторного розшарування ${\displaystyle F}$ виконується рівність ${\displaystyle w_{i}(E\oplus F)=w_{i}(F),\;\forall i\geqslant 0.}$
• ${\displaystyle w_{i}(E)=0}$ при ${\displaystyle i>\mathrm {rank} (E)}$.
• Перший клас Штіфеля — Вітні рівний нулю тоді і тільки тоді, коли розшарування є орієнтовним. Зокрема, многовид ${\displaystyle M}$ є орієнтовним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle w_{1}(TM)=0}$.
• Розшарування допускає спінорну структуру, тоді і тільки тоді, коли перший і другий класи Штіфеля — Вітні обидва рівні нулю.
• Для орієнтовного розшарування, другий клас Штіфеля — Вітні лежить в образі природного відображення ${\displaystyle H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})}$ (або, що те ж саме, так званий третій цілий клас Штіфеля — Вітні наближається до нуля) тоді і тільки тоді, коли розшарування допускає ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{C}}$-структуру.
• Всі числа Штіфеля - Вітні гладкого компактного многовида ${\displaystyle X}$ рівні нулю тоді і тільки тоді, коли цей многовид є границею (без урахування орієнтації) гладкого компактного многовида.

• Загальний клас Штіфеля — Вітні довільного тривіального векторного розшарування рівний 1, тобто ${\displaystyle w_{n}=0,\;n>0.}$
• Для дотичного розшарування над одиничною сферою ${\displaystyle S^{n}}$ клас Штіфеля — Вітні теж рівний 1. Тобто за допомогою класів Штіфеля — Вітні дотичне розшарування не можливо відрізнити від тривіального хоча не для всіх сфер дотичне розшарування є тривіальним.
• Нехай ${\displaystyle P^{n}}$ — проективний простір розмірності n. Тоді сингулярні групи когомологій ${\displaystyle H^{i}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2})}$ є циклічними групами порядку 2 для ${\displaystyle i\leqslant n}$ і є нульовою групою для інших значень. До того ж якщо a — ненульовий елемент групи ${\displaystyle H^{1}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2})}$ то i-кратний кап-добуток a на самого себе є ненульовим елементом групи ${\displaystyle H^{i}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2}).}$ При цих позначеннях для тавтологічного розшарування ${\displaystyle w(\gamma ^{n})=1+a.}$
• В тих же позначеннях, що і в попередньому пункті, якщо ${\displaystyle \gamma _{\perp }^{n}}$ — ортогональне доповнення тавтологічного розшарування, то ${\displaystyle w(\gamma _{\perp }^{n})=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots +a^{n}.}$
• ${\displaystyle w(P^{n})=(1+a)^{n+1}.}$ Зокрема ${\displaystyle w(P^{n})=1}$ тоді і тільки тоді коли n + 1 є степенем 2.

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — Москва: Мир, 1979. — 371 с.