Грассманіан

• Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
• Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
• Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину ${\displaystyle G=\{P\in Gr(k,V):P\cap Q=\{0\}\}.}$ Дана множина G є відкритою.

Нехай ${\displaystyle P\in G}$ і ${\displaystyle A\in \phi ^{-1}(P).}$ Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з ${\displaystyle M(n,k,\mathbb {R} )}$ де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Нехай ${\displaystyle A'\in M(n,n-k,\mathbb {R} )}$ — матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Очевидно що ${\displaystyle P\cap Q=\{0\}}$ тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&A^{'}\end{bmatrix}}}$ не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо ${\displaystyle A\in \phi ^{-1}(G)}$ то й деякий окіл A є підмножиною ${\displaystyle \phi ^{-1}(G).}$ Звідси випливає, що множина ${\displaystyle \phi ^{-1}(G)}$ є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Оскільки ${\displaystyle St(k,V)}$ можна визначити як відкриту підмножину ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nk}}$ на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для ${\displaystyle A\in St(k,V)}$ маємо ${\displaystyle \phi ^{-1}(\phi (A))=\{AB,B\in GL(k,\mathbb {R} )\},}$ де ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ — загальна лінійна група. Таким чином ${\displaystyle Gr(k,V)\simeq St(k,V)/GL(k,\mathbb {R} )}$ і оскільки ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ є групою Лі дія якої на ${\displaystyle St(k,V)}$ є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на ${\displaystyle Gr(k,V)}$ можна ввести структуру фактор-многовиду.

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай ${\displaystyle P\in Gr(k,V)}$ і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що ${\displaystyle V=P\oplus Q.}$ Введемо базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай ${\displaystyle G_{P}=\{P^{'}\in Gr(k,V):P^{'}\cap Q=\{0\}\}.}$ Як вказано вище ${\displaystyle G_{P}}$ є відкритою множиною і очевидно ${\displaystyle P\in G_{P}.}$ Тобто ${\displaystyle G_{P}}$ є околом P.

Якщо ${\displaystyle P^{'}\in G_{P}}$ то ${\displaystyle \forall x\in P^{'}\exists !p\in P,q\in Q:x=p+q,}$ при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}:P^{'}\to P}$ і ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Q}:P^{'}\to Q,}$ для яких в попередніх позначеннях ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}(x)=p,\,\operatorname {Pr} _{Q}(x)=q.}$

Лінійне відображення ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}}$ діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним (${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}(x)=0\implies x\in Q\implies x=0}$ з визначення ${\displaystyle P^{'}}$). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення ${\displaystyle D\in \displaystyle {\mathcal {L}}(P,Q):=\operatorname {Pr} _{Q}\circ \operatorname {Pr} _{P}^{-1}}$. Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця ${\displaystyle D\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Відображення ${\displaystyle I+D}$ задає ізоморфізм між P і P^', зокрема стовпці, блокової матриці ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D\end{bmatrix}}}$ задають координати базисних векторів простору P^' щодо векторів ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Якщо тепер ${\displaystyle D_{1},D_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} )}$ — дві різні матриці то підпростори визначені ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{1}\end{bmatrix}}}$ і ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{2}\end{bmatrix}}}$ очевидно належать ${\displaystyle G_{P}}$ і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення ${\displaystyle \psi _{P}}$ між ${\displaystyle G_{P}}$ і ${\displaystyle M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина ${\displaystyle (G_{P},\psi _{P}),\,P\in Gr(k,V)}$ є покриттям простору ${\displaystyle Gr(k,V)}$ локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай ${\displaystyle P_{1},P_{2}\in Gr(k,V),\,G_{P_{1}},G_{P_{2}},\psi _{P_{1}},\psi _{P_{2}}}$ — визначені як і раніше. Також визначимо ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}:V=P_{1}\oplus Q_{1}=P_{2}\oplus Q_{2}}$ і базисні вектори ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₁, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₁ і базисні вектори ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₂, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₂

Візьмемо тепер ${\displaystyle P_{3}\in G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}}$ тобто ${\displaystyle P_{3}\cap Q_{1}=P_{3}\cap Q_{2}=\{0\}.}$ Маємо ${\displaystyle \psi _{1}(P_{3})=A_{1}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ),\,\psi _{2}(P_{3})=A_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$Відповідно стовпці блокової матриці ${\displaystyle A^{'}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{1}\end{bmatrix}}}$ задають координати базисних векторів простору ${\displaystyle P_{3}}$ щодо ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Якщо ${\displaystyle B}$ — матриця переходу від базиса ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ до базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ простору V, то стовпці матриці ${\displaystyle B^{'}=BA^{'}}$ є координатами тих самих базисних векторів простору ${\displaystyle P_{3}}$ щодо ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}.}$ Перепишемо останню матрицю у блочному виді: ${\displaystyle B^{'}={\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}}$ де ${\displaystyle F\in M(k,k,\mathbb {R} ),\,H\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Стовпці матриці ${\displaystyle B^{'}}$ є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями ${\displaystyle B^{'}}$ в ненульовий елемент ${\displaystyle Q_{2}}$, що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо ${\displaystyle {\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{2}\end{bmatrix}}X,}$ — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі ${\displaystyle P_{2}}$ у базисі ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$ З поданої рівності очевидно, що ${\displaystyle X=F}$ і, як наслідок ${\displaystyle A_{2}=HF^{-1}.}$

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці ${\displaystyle A_{2}}$ від елементів матриці ${\displaystyle A_{1}.}$ З рівності ${\displaystyle B^{'}=BA^{'}}$ випливає, що коефіцієнти матриць ${\displaystyle B^{'},F,H}$ є афінними функціями від елементів матриці ${\displaystyle A_{1}.}$ З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці ${\displaystyle F^{-1}}$ є раціональними функціями від елементів ${\displaystyle A_{1}}$ знаменники яких ніколи в ${\displaystyle G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}}$ не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці ${\displaystyle A_{2}=HF^{-1}.}$ Відповідно всі елементи матриці ${\displaystyle A_{2}}$ є гладкими функціями від елементів матриці ${\displaystyle A_{1},}$ тобто всі функції переходу ${\displaystyle \psi _{P_{1}P_{2}}=\psi _{P_{2}}\circ \psi _{P_{1}}}$ є гладкими.