N-кістяк

N-кістяк у математиці, зокрема в алгебраїчній топології, є топологічним простором X, який представлений у вигляді симпліціального комплексу (відповідно CW-комплексу), який відноситься до підпростору X_n, що є об'єднанням симплексів X (відповідно клітин X) розмірів m ≤ n. Іншими словами, враховуючи індуктивне визначення комплексу, n-кістяк отримується, зупинкою на n-му кроці.

Граф гіперкуба є 1-кістяком тесеракту.

Ці підпростори збільшуються зі значенням n. 0-кістяк являє собою дискретний простір, а також 1-кістяк топологічного графу. Скелети простору використовуються в теорії обструкцій, для побудови спектральних послідовностей за допомогою фільтрації, і взагалі для створення індуктивних аргументів. Вони особливо важливі, коли X має нескінченну розмірність в тому сенсі, X_n не стає постійним, коли $n\to \infty$ .

В геометрії

В геометрії, a k-кістяк n-багатогранника P (функціонально представлені у вигляді skel_k(P)) складаються з усіх i-політопів, які мають розмірність не більше k.[1]

Наприклад:

skel₀(куб) = 8 вершин: skel₁(куб) = 8 вершин, 12 ребер: skel₂(куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратних граней

Для симпліціальних множин

Вищезгадане визначення кістяка симпліціального комплексу — це окремий випадок поняття кістяка симпліціальної множини. Коротко кажучи, спрощений набір $K_{*}$ може бути описаний сукупністю множин $K_{i},\ i\geqslant 0$ , разом з гранями і виродження між ними задовольняють ряд рівнянь. Ідея n-кістяку $sk_{n}(K_{*})$ — це спочатку відкинути набори $K_{i}$ із $i>n$ , а потім доповнити колекцію $K_{i}$ із $i\leqslant n$ до «найменшої можливої» симпліціальної множини, так що отримана симпліціальна множина не містить ніяких вироджених симплексів степені $i>n$ .

Більш точно, обмеження функтора

i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leqslant n}^{op}Sets

має лівого спряженого, який позначається як $i^{*}$ .[2] (Нотації $i^{*},i_{*}$ є порівнянними з функторами зображень для пучків.) n-кістяк симпліціальної множини $K_{*}$ визначається як

sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.

Кокістяк

Крім того, $i_{*}$ має правий спряжений $i^{!}$ . n-кокістяк визначається як

cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.

Наприклад, 0-skeleton K являє собою постійний симпліціальну множину, визначену як $K_{0}$ . 0-кокістяк визначається нервом Чеха

\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.

(Граничний та вироджений морфізми задаються різними проекціями та діагональними вкладеннями, відповідно.)

Наведені вище конструкції працюють для більш загальних категорій (замість множин), за умови, що у категорії є розшарований добуток. Кокістяк необхідний для визначення поняття гіперпокриття в гомотопичній алгебрі і алгебраїчній геометрії.[3]

Список літератури

Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics 174. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1., section IV.3.2
Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Lecture Notes in Mathematics, No. 100. Berlin, New York: Springer-Verlag.

Зовнішні посилання [ редагувати джерело ]

Weisstein, Eric W. Skeleton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)

[2] Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics 174. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1., section IV.3.2

[3] Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Lecture Notes in Mathematics, No. 100. Berlin, New York: Springer-Verlag.