Коалгебра

Коалгебра над полем K — це векторний простір C над K разом з K — лінійними відображеннями ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$ і ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$, такими що

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Тут ${\displaystyle \otimes }$ і ${\displaystyle \otimes _{K}}$ позначає тензорний добуток над K.)

Еквівалентно, наступні дві діаграми комутують:

На першій діаграмі ми ототожнюємо ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ з ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$ як два природно ізоморфних простори. [1] Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C\otimes K}$ і ${\displaystyle K\otimes C}$. [2]

Перша діаграма двоїста діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного нейтрального елемента. Відповідно, відображення Δ називається комноженням (або кодобутком) в C, а ε є коодиницею C.

Розглянемо деяку множину S і векторний простір над K з базисом S. Елементами цього векторного простору є такі функції з S в K, які відображають всі елементи S, крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент s з S з функцією, яка відображає s в 1 і всі інші елементи S в 0. Позначимо цей простір як C. Визначимо

${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s\quad {\mbox{and}}\quad \epsilon (s)=1\quad \forall s\in S.}$

Δ і ε можуть бути єдиним чином продовжені на все C по лінійності. Векторний простір C стає коалгеброю з комноженням Δ і коодиницею ε (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).

У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.

Це випливає з того, що, для скінченновимірних просторів, (A ⊗ A)* і A* ⊗ A* є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A^∗, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням A ⊗ A → A, яке породжує лінійне відображення спряжених просторів A^∗ → (A ⊗ A)^∗. Через ізоморфність, (A ⊗ A)^∗ і A^∗ ⊗ A^∗ в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A^∗. Коодиницею A^∗ є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.

Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.

• Алгебра над кільцем
• Алгебра над полем

• Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra. Springer-Verlag. ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.
• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebras.An introduction. Pure and Applied Mathematics 235 (вид. 1st). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9..
• Sweedler, Moss E. (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York. MR 0252485.
• Yokonuma, Takeo (1992). Tensor spaces and exterior algebra. Translations of mathematical monographs 108. AMS Bookstore. ISBN 9780821845646..