Коалгебра

Коалгебра — математична структура, яка є двоїстою до асоціативної алгебри з одиницею. Аксіоми унітарної асоціативної алгебри можуть бути сформульовані в термінах комутативних діаграм. Аксіоми коалгебри одержуються за допомогою обертання стрілок. Кожна коалгебра через двоїстість векторних просторів породжує алгебру, але не завжди навпаки. У скінченновимірному випадку двоїстість є в обох напрямках.

Означення

Коалгебра над полем K — це векторний простір C над K разом з K — лінійними відображеннями і , такими що

  1. .

(Тут і позначає тензорний добуток над K.)

Еквівалентно, наступні дві діаграми комутують:

На першій діаграмі ми ототожнюємо з як два природно ізоморфних простори. [1] Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори , і . [2]

Перша діаграма двоїста діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного нейтрального елемента. Відповідно, відображення Δ називається комноженням (або кодобутком) в C, а ε є коодиницею C.

Приклад

Розглянемо деяку множину S і векторний простір над K з базисом S. Елементами цього векторного простору є такі функції з S в K, які відображають всі елементи S, крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент s з S з функцією, яка відображає s в 1 і всі інші елементи S в 0. Позначимо цей простір як C. Визначимо

Δ і ε можуть бути єдиним чином продовжені на все C по лінійності. Векторний простір C стає коалгеброю з комноженням Δ і коодиницею ε (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).

Скінченновимірний випадок

У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.

Це випливає з того, що, для скінченновимірних просторів, (AA)* і A* ⊗ A* є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням AAA, яке породжує лінійне відображення спряжених просторів A → (AA). Через ізоморфність, (AA) і AA в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A. Коодиницею A є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.

Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.

Примітки

  1. Yokonuma (1992 ), p. 12, Prop. 1.7.
  2. Yokonuma (1992), p. 10, Prop. 1.4.

Див. також

Література

  • Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra. Springer-Verlag. ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.
  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebras.An introduction. Pure and Applied Mathematics 235 (вид. 1st). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9..
  • Sweedler, Moss E. (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York. MR 0252485.
  • Yokonuma, Takeo (1992). Tensor spaces and exterior algebra. Translations of mathematical monographs 108. AMS Bookstore. ISBN 9780821845646..
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.