3j-символи

Зворотне відношення можна знайти приймаючи до уваги, що j₁ - j₂ - m₃ є цілим числом й роблячи заміну ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}$

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3j-символами значно зручніше, ніж коефіцієнтами Клебша — Ґордана. 3j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j₁+j₂+j₃ може приймати значення 1 чи -1

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Зміна знаку на протилежний біля усіх квантових чисел ${\displaystyle m}$ додає такий же фазовий множник:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

3j-символи Вігнера завжди рівні нулю за виключенням випадків, коли одночасно виконуються всі такі умови:

${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\,}$

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}\,}$ є цілим числом

${\displaystyle |m_{i}|\leq j_{i}}$

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}}$ («правило трикутника»).

Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:[1]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=&{\frac {{(j_{1}+j_{2}-j_{3})!}{(j_{1}-j_{2}+j_{3})!}{(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}\times \\&[{(j_{1}+m_{1})!}{(j_{1}-m_{1})!}{(j_{2}+m_{2})!}{(j_{2}-m_{2})!}{(j_{3}+m_{3})!}{(j_{3}-m_{3})!}]^{\frac {1}{2}}\times \\&\sum _{z=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{z+j_{1}+j_{2}-m_{3}}}{{z!}{(j_{1}+j_{2}-j_{3}-z)!}{(j_{1}-m_{1}-z)!}{(j_{2}-m_{2}-z)!}{(j_{3}-j_{2}+m_{1}+z)!}{(j_{3}-j_{1}-m_{2}+z)!}}}\end{matrix}}}$

де знак ! вказує на факторіал числа, а сумування проводиться по всім цілим z. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює ${\displaystyle -\infty }$, то маємо скінченне число членів суми.

Формули для 3j-символів для простих випадків[1]

Випадок

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j+{\frac {1}{2}}&j&{\frac {1}{2}}\\m&-m-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m-{\frac {1}{2}}}[{\frac {j-m-{\frac {1}{2}}}{(2j+1)(2j+2)}}]^{\frac {1}{2}}}$.

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&1\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=0}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\frac {2m}{[2j(2j+1)(2j+2)]^{\frac {1}{2}}}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -[{\frac {2(j+m+1)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=1}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle [{\frac {2(j-m)(j+m+1)}{[2j(2j+1)(2j+2)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -[{\frac {(j-m)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m+{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&{\frac {3}{2}}\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -(j+3m+{\frac {3}{2}})[{\frac {j-m+{\frac {1}{2}}}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle -[{\frac {3(j-m+{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {3}{2}})(j+m+{\frac {3}{2}})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}={\frac {3}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle [{\frac {3(j-m-{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {1}{2}})(j+m+{\frac {3}{2}})}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle -[{\frac {(j-m-{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {3}{2}})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&2\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=0}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\frac {2[3m^{2}-j(j+1)]}{[(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)]^{\frac {1}{2}}}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2m[{\frac {6(j+m+1)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle [{\frac {6(j+m+2)(j+m+1)(j-m+2)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=1}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle (1+2m)[{\frac {6(j+m+1)(j-m)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2(j+2m+2)[{\frac {(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle 2[{\frac {(j+m+2)(j-m+2)(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=2}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle [{\frac {6(j-m-1)(j-m)(j+m+1)(j+m+2)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2[{\frac {(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j+m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle [{\frac {(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j-m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Стискуюче відображення добутку трьох станів обертання з 3j-символом,

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}$

є інваріантним щодо операцій обертання.

${\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'};}$

${\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'},}$

де ${\displaystyle \delta _{jj'},\delta _{mm'},\delta _{m_{1}m_{1}'}}$ та ${\displaystyle \delta _{m_{2}m_{2}'}}$ є символами Кронекера.

Результат обчислення інтегралу від добутку трьох сферичних гармонік можна подати у вигляді 3j-символів таким чином

${\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ та ${\displaystyle l_{3}}$ — цілі числа.

${\displaystyle \int Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{2}})Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{3}})Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })\;d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}}$

• коефіцієнти Клебша — Ґордана
• Сферичні гармоніки
• 6j-символи
• 9j-символи
• 12j-символи
• 15j-символи

• Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном (дає точну відповідь)
• Вебкалькулятор для коефіцієнтів Клебша-Ґордана, 3j- та 6j-символів (чисельно)
• Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (чисельно)