3j-символи

У квантовій механіці 3-jm-символи Вігнера, або як їх ще називають 3j-символи, що співвідносяться з коефіцієнтами Клебша — Ґордана так:

Зворотне відношення

Зворотне відношення можна знайти приймаючи до уваги, що j1 - j2 - m3 є цілим числом й роблячи заміну

Властивості симетрії

Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3j-символами значно зручніше, ніж коефіцієнтами Клебша — Ґордана. 3j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:

В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j1+j2+j3 може приймати значення 1 чи -1

Зміна знаку на протилежний біля усіх квантових чисел додає такий же фазовий множник:

Правила відбору

3j-символи Вігнера завжди рівні нулю за виключенням випадків, коли одночасно виконуються всі такі умови:

є цілим числом
(«правило трикутника»).

Обчислення

Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:[1]

де знак ! вказує на факторіал числа, а сумування проводиться по всім цілим z. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює , то маємо скінченне число членів суми.


Формули для 3j-символів для простих випадків[1]

Випадок

.

Випадок

Випадок


Випадок

Скалярний інваріант

Стискуюче відображення добутку трьох станів обертання з 3j-символом,

є інваріантним щодо операцій обертання.

Відношення ортогональності

де та є символами Кронекера.

Відношення до сферичних гармонік

Результат обчислення інтегралу від добутку трьох сферичних гармонік можна подати у вигляді 3j-символів таким чином

де , та  цілі числа.

Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік

Інші властивості

Див.також

Джерела

  1. Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. «Квантова механіка. Нерелятивістська теорія», збірка «Теоретична фізика», том 3, Москва «Наука», 1989
    • L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
    • D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
    • A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
    • Шаблон:Dlmf
    • D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
    • E. P. Wigner, "On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups", unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
    • Moshinsky, Marcos (1962). Wigner coefficients for the SU3 group and some applications. Rev. Mod. Phys. 34 (4): 813. doi:10.1103/RevModPhys.34.813.
    • Baird, G. E.; Biedenharn, L. C. (1963). On the representation of the semisimple Lie Groups. II.. J. Math. Phys. 4: 1449. doi:10.1063/1.1703926.
    • Swart, J. J. (1963). The octet model and its Glebsch-Gordan coefficients. Rev. Mod. Phys. 35 (4): 916. doi:10.1103/RevModPhys.35.916.
    • Baird, G. E.; Biedenharn, L. C. (1964). On the representations of the semisimple Lie Groups. III. The explicit conjugation Operation for SUn. J. Math. Phys. 5: 1723. doi:10.1063/1.1704095.
    • Horie, Hisashi (1964). Representations of the symmetric group and the fractional parentage coefficients. J. Phys. Soc. Jpn. 19: 1783. doi:10.1143/JPSJ.19.1783.
    • P. McNamee, S. J.; Chilton, Frank; Chilton, Frank (1964). Tables of Clebsch-Gordan coefficients of SU3. Rev. Mod. Phys. 36 (4): 1005. doi:10.1103/RevModPhys.36.1005.
    • Hecht, K. T. (1965). SU3 recoupling and fractional parentage in the 2s-1d shell. Nucl. Phys. 62 (1): 1. doi:10.1016/0029-5582(65)90068-4.
    • Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). Unitary groups: representations and decompositions. Rev. Mod. Phys. 38 (1): 95. doi:10.1103/RevModPhys.38.95.
    • Kramer, P. (1967). Orbital fractional parentage coefficients for the harmonic oscillator shell model. Z. Physik 205 (2): 181. doi:10.1007/BF01333370.
    • Kramer, P. (1968). Recoupling coefficients of the symmetric group for shell and cluster model configurations. Z. Physik 216 (1): 68. doi:10.1007/BF01380094.
    • Hecht, K. T.; Pang, Sing Ching (1969). On the Wigner Supermultiplet Scheme. J. Math. Phys. 10 (9): 1571. doi:10.1063/1.1665007.
    • Lezuo, K. J. (1972). The symmetric group and the Gel'fand basis of U(3). Generalizations of the Dirac identity. J. Math. Phys. 13 (9): 1389. doi:10.1063/1.1666151.
    • Draayer, J. P.; Akiyama, Yoshimi (1973). Wigner and Racah coefficients for SU3. J. Math. Phys. 14 (12): 1904. doi:10.1063/1.1666267.
    • Akiyama, Yoshimi; Draayer, J. P. (1973). A users' guide to fortran programs for Wigner and Racah coefficients of SU3. Comp. Phys. Comm. 5: 405. doi:10.1016/0010-4655(73)90077-5.
    • Paldus, Josef (1974). Group theoretical approach to the configuration interaction and perturbation theory calculations for atomic and molecular systems. J. Chem. Phys 61 (12): 5321. doi:10.1063/1.1681883.
    • Haacke, E. M.; Moffat, J. W.; Savaria, P. (1976). A calculation of SU(4) Glebsch-Gordan coefficients. J. Math. Phys. 17 (11): 2041. doi:10.1063/1.522843.
    • Paldus, Josef (1976). Unitary-group approach to the many-electron correlation problem: Relation of Gelfand and Weyl tableau formulations. Phys. Rev. A. 14 (5): 1620. doi:10.1103/PhysRevA.14.1620.
    • Bickerstaff, R. P.; Butler, P. H.; Butts, M. B.; Haase, R. w.; Reid, M. F. (1982). 3jm and 6j tables for some bases of SU6 and SU3. J. Phys. A 15: 1087. doi:10.1088/0305-4470/15/4/014.
    • Sarma, C. R.; Sahasrabudhe, G. G. (1980). Permutational symmetry of many particle states. J. Math. Phys. 21 (4): 638. doi:10.1063/1.524509.
    • Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). A new approach to permutation group representation. J. Math. Phys. 23: 928. doi:10.1063/1.525460.
    • Sarma, C. R.; Sarma (1982). Determination of basis for the irreducible representations of the unitary group for U(p+q)U(p)×U(q). J. Math. Phys. 23 (7): 1235. doi:10.1063/1.525507.
    • Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). The Gel'fand basis and matrix elements of the graded unitary group U(m/n). J. Phys. A 16 (15): 3435. doi:10.1088/0305-4470/16/15/010.
    • Nikam, R. S.; Dinesha, K. V.; Sarma, C. R. (1983). Reduction of inner-product representations of unitary groups. J. Math. Phys. 24 (2): 233. doi:10.1063/1.525698.
    • Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). Transformation coefficients of permutation groups. J. Math. Phys. 24: 2695. doi:10.1063/1.525668.
    • Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). The Clebsch-Gordan coefficient for SU(m/n) Gel'fand basis. J. Phys. A 17 (3): 481. doi:10.1088/0305-4470/17/3/011.

    Посилання

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.