Конфайнмент

Рівняння ренормалізаційної групи описує ефективну силу взаємодії (константу зв'язку) на різних просторових масштабах, або, що еквівалентно, імпульсах частинок. У КХД(далi QCD) у першому порядку теорії збурень розв'язок має вигляд

${\displaystyle \alpha _{s}(Q^{2})={\frac {2\pi }{\left(11-{\frac {2}{3}}n_{f}\right)\ln {\frac {Q}{\Lambda _{\text{QCD}}}}}}}$

де ${\displaystyle \alpha _{s}}$ є власне константою зв'язку сильних взаємодії, ${\displaystyle Q}$ — типовий масштаб енергії при взаємодії (наприклад, енергії кварків при розсіянні), ${\displaystyle n_{f}}$ — кількість наближено безмасових кварків при цій енергії та ${\displaystyle \Lambda _{\text{QCD}}\approx 200\,{\text{MeV}}}$ — масштаб конфайнменту у QCD (маса найлегших мезонів).

Цей вираз одразу демонструє дві важливі особливості QCD. По-перше, це асимптотична свобода, тобто малість взаємодії при великих ${\displaystyle Q\gg \Lambda _{\text{QCD}}}$. По-друге, при ${\displaystyle Q\approx \Lambda _{\text{QCD}}}$ сила взаємодії необмежено росте. Хоча це рівняння некоректно використовувати при великих значеннях ${\displaystyle \alpha _{s}}$ (оскільки це лише перший порядок теорії збурень), воно дає якісний опис чому відбувається конфайнмент. Питання як відбувається конфайнмент наразі є невирішеною проблемою сучасної фізики.

Траєкторії Редже для адронів

Спектр частинок у QCD має особливість: траєкторії Редже адронів досить добре апроксимуються лінійними залежностями спіну від квадрату маси.

Таку залежність можна приблизно описати, розглянувши модель мезона, що являє собою пряму палицю з взаємодіючих глюонів довжини L=2R та лінійною масою σ. Розглянувши обертання цієї палиці та вважаючи, що кінці рухаються зі швидкістю світла, масу та кутовий момент можна знайти наступним чином:

${\displaystyle m=2\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma }{\sqrt {1-v^{2}(r)}}}\,dr=\pi \sigma R}$

${\displaystyle J=2\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma rv(r)}{\sqrt {1-v^{2}(r)}}}\,dr={\frac {2}{R}}\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma r^{2}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}}\,dr={\frac {\pi \sigma R^{2}}{2}}}$

Якщо порівняти ці два вирази знаходимо, що ${\displaystyle J={\frac {m^{2}}{2\pi \sigma }}=\alpha m^{2}}$, де ${\displaystyle \alpha }$ є нахилом Редже. Експериментально отримане значення лінійної маси (натягу стуни): ${\displaystyle \sigma \approx 0.9\,{\text{GeV}}\,{\text{fm}}^{-1}}$.

Звичайно, така модель не є ідеальною, оскільки траєкторії Редже не проходять через початок координат і мають різні нахили. Тим не менше, саме ця особливість була ключовою для гіпотези лінійного потенціалу взаємодії між кварками.

У квантовій хромодинаміці (або в більш загальному випадку квантових калібрувальних теорій), якщо відбувається зв'язок, тобто кольоровий конфайнмент, можливе утворення струноподібних степенів свободи, які називаються струнами QCD або трубо-потоками QCD. Наразі не існує загальноприйнятого опису, яким чином струноподібні об'єкти з'являються з фундаментальної теорії взаємодій кварків та глюонів. Одним з можливих способів є утворення кольорово заряджених тунельних токів. Можна уявити, що електрична складова кольорово зарядженого поле проходить між статичними кварком та антикварком і, через певні причини, має вигляд циліндру, переріз якого не залежить від відстані L між кварком та антикварком. В цьому випадку, енергія глюонного поля росте зі збільшенням відстані: ${\displaystyle E=\sigma L}$, де ${\displaystyle \sigma =\int \,dx_{\perp }^{2}{\frac {E_{k}^{a}(x)E_{k}^{a}(x)}{2}}}$, а поле ${\displaystyle E_{k}^{a}(x)=F_{0k}^{a}(x)}$, інтеграл береться по перерізу тунельного току. Недолік цієї моделі полягає в тому, що вона не здатна описати розрив струни. В реальній QCD ми не спостерігаємо лінійного нескінченого зростання енергії взаємодії. На дуже малих відстанях асимптотична свобода домінує, потенціал має вигляд Кулона; на середніх відстанях утворюється тунельний потік поля, потенціал лінійний; на великих відстанях енергетично вигідніше утворити кварк та антикварк пару масами ${\displaystyle m_{q}}$, і зламати тунельний потік поля — кольорове поле статичних кварків екранується динамічними полями.

Якісно новий підхід у розумінні сильних взаємодій можна отримати, розглядаючи систему на ${\displaystyle d}$-вимірній ґратці. Подібний аналіз є загальним, тобто описує не лише сильні взаємодії, але й довільну калібрувальну теорію. Калібрувальні поля задаються дискретно своїми значеннями ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$ на лінках (зв'язках) між точками ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle x+a{\hat {\mu }}}$ (${\displaystyle a}$ — стала ґратки, ${\displaystyle \mu ={\overline {0,d-1}}}$ — напрямок від точки). Для опису динаміки цих полів Вільсон запропонував використовувати в якості ступенів вільності величину

${\displaystyle U_{\mu }(x)=\exp(igaA_{\mu }(x))=\exp(igaA_{\mu }^{k}(x)t_{k})}$

замість безпосередньо польових змінних; ${\displaystyle t_{k}}$ — генератори групи симетрії. Перевага цього підходу полягає в тому, що за допомогою ${\displaystyle U_{\mu }(x)}$ можна сконструювати дію системи та досліджувати калібрувально-інваріантні спостережувані величини. Дія набуває вигляд

${\displaystyle S=-{\frac {1}{g^{2}}}\sum _{\underset {x}{\mu <\nu }}{\text{Tr}}\,\left[U_{\mu }(x)U_{\nu }(x+a{\hat {\mu }})U_{\mu }^{*}(x+a{\hat {\nu }})U_{\nu }^{*}(x)+{\text{h.c.}}\right]}$

Ця дія є коректною, оскільки дійсно у неперервному ліміті ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ переходить у,

${\displaystyle S{\overset {a\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-{\frac {1}{2}}\int d^{d-1}x\,{\text{Tr}}\,F^{\mu \nu }F_{\mu \nu },\qquad F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }]}$

Де ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ це тензор електромагнітного поля в теорії Янга-Мiллса. Кожен доданок у сумі для дії є послідовним перемноженням чотирьох ${\displaystyle U}$ на квадраті (плакетці) зі сторонами ${\displaystyle \mu }$ та ${\displaystyle \nu }$. Ця комбінація є калібрувально інваріантною, що можна побачити з наступного правила перетворення:

${\displaystyle U_{\mu }(x)\rightarrow G(x)U_{\mu }(x)G(x+a{\hat {\mu }})}$

яке у неперервному ліміті набуває правильного вигляду

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow G(x)A_{\mu }(x)G^{\dagger }(x)-{\frac {i}{g}}G(x)\partial _{\mu }G^{\dagger }(x)}$

Петлею Вільсона називається калібрувально інваріантна величина, що є узагальненням виразу ${\displaystyle U_{\mu }(x)U_{\nu }(x+a{\hat {\mu }})U_{\mu }^{*}(x+a{\hat {\nu }})U_{\nu }^{*}(x)}$ на довільному замкненому контурі ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle W_{C}(\{A_{\mu }\})={\text{Tr}}\,\prod _{x\in C}U_{\mu }(x)}$

Фізичний зміст цієї величини є найбільш прозорим саме в описі за допомогою ґратці, тим не менше ${\displaystyle W_{C}}$ можна одразу визначити й у неперервній теорії поля:

${\displaystyle W_{C}(\{A_{\mu }\})={\text{Tr}}\,{\mathcal {P}}\exp \left(ig\oint _{C}dx^{\mu }A_{\mu }(s)\right)}$

де контур ${\displaystyle C=\{x_{\mu }(s)\}}$ задається параметром ${\displaystyle s}$, а символ упорядкування ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ставить множники з більшими значеннями ${\displaystyle s}$ зліва від множників з меншими.

Мезонний потенціал

Щоб якісно зрозуміти фізичний зміст петлі Вільсона, роздивимось теорію з масивними нерухомими скалярними частинками ${\displaystyle \phi }$, що взаємодіють з калібрувальними полями на ґратці. Дія:

${\displaystyle S=\sum _{x}m^{2}\phi ^{\dagger }(x)\phi (x)+\sum _{x,\mu }{\frac {\phi ^{\dagger }(x)}{a^{2}}}{\big (}\phi (x)-U_{\mu }(x)\phi (x+a{\hat {\mu }}){\big )}}$

Оператор

${\displaystyle Q(R,t)=\phi ^{\dagger }(0,t)U_{1}(a{\hat {1}},t)U_{1}(2a{\hat {1}},t)\dots U_{1}((R-a){\hat {1}},t)\phi (R{\hat {1}},t)}$

є калібрувально інваріантним виразом, що народжує частинку у точці ${\displaystyle x=0}$ та античастинку у ${\displaystyle x=R{\hat {1}}}$. З функціонального інтегралу можно показати, що для фіксованої конфігурації калібрувальних полів (інтегруючи лише ${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle \langle Q^{\dagger }(R,T)Q(R,0)\rangle _{\phi }\approx {\text{Tr}}\,{\bigg [}\langle \phi (R{\hat {1}},0)\phi ^{\dagger }(R{\hat {1}},T)\rangle \,\,\,U^{\dagger }{\big (}(R-a){\hat {1}},T{\big )}\dots U^{\dagger }{\big (}a{\hat {1}},T{\big )}\,\,\,\langle \phi (0,T)\phi ^{\dagger }(0,0)\rangle \,\,\,U{\big (}a{\hat {1}},0{\big )}\dots U{\big (}(R-a){\hat {1}},0{\big )}{\bigg ]}\approx O(m^{-4(T+1)}){\text{Tr}}\,[UU\dots U]_{C}}$

де контур ${\displaystyle C}$ є межею прямокутника ${\displaystyle [0,R{\hat {1}}]\times [0,T{\hat {0}}]}$.

Таким чином петлю Вільсона можна інтерпретувати як амплітуду народження пари частинки та античастинки та їх подальшої анігіляції. Зокрема, її можна безпосередньо пов'язати до кварк-антикваркової взаємодії у мезоні.

З операторного формалізму в евклідовому часі ми маємо

${\displaystyle \langle Q^{\dagger }(T)Q(0)\rangle {\overset {T\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}{\frac {\sum _{nm}\langle 0|Q^{\dagger }|n\rangle \langle n|e^{-HT}|m\rangle \langle m|Q|0\rangle }{\langle 0|e^{-HT}|0\rangle }}=\sum \limits _{n}|c_{n}|^{2}e^{-(E_{n}-E_{0})T}}$

де ${\displaystyle H}$ — гамільтоніан калібрувальних полів при фіксованих джерелах у вигляді двох частинок.

У границі ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ домінуючий вклад походить від першого збужденого рівня з енергією зв'язку ${\displaystyle E_{1}-E_{0}\equiv V(R)}$. Отже, петля Вільсона, розрахована в евклідовому часі по контуру у вигляді прямокутника ${\displaystyle R\times T}$ визначає енергію калібрувальної струни, що пов'язує дві частинки:

${\displaystyle \langle W(R,T)\rangle \sim e^{-V(R)\cdot T}}$

Еквівалентно можно записати наступні співвідношення:

${\displaystyle V_{q{\bar {q}}}(R)=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {\langle \log W(R,T)\rangle }{T}}=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{a}}\log {\frac {\langle W(R,T+a)\rangle }{\langle W(R,T)\rangle }},\qquad \sigma _{q{\bar {q}}}(R)\equiv {\frac {V_{q{\bar {q}}}(R)}{R}}=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {\langle \log W(R,T)\rangle }{R\cdot T}}}$

Баріонний потенціал

Аналогічно можна роздивитись взаємодію між трьома кварками у баріонні, пов'язавши її до петлі Вiльсона спеціальної форми (так звана книжкова спостережувана). Однак, тричастинковий потенціал, або форма глюонної конфігурації, що пов'язує кварки, наразі невідома. Розглядають два варіанти: ${\displaystyle \Delta }$-закон, в якому глюоонні струни натягнені між кожною парою кварків, та ${\displaystyle Y}$-закон, в якому струни з'єднуються в точці Ферма-Торічеллі трикутника.

${\displaystyle V_{\Delta }=\sigma _{qqq}\Delta ,\qquad \Delta ={\frac {1}{2}}\sum _{(ij)}|x_{i}-x_{j}|}$

${\displaystyle V_{Y}=\sigma _{qqq}Y,\qquad Y=\min _{x_{0}}\sum _{i=1}^{3}|x_{i}-x_{0}|}$

З Монте-Карловських розрахунків, маємо, що: ${\displaystyle \sigma _{q{\bar {q}}}\approx \sigma _{qqq}}$, тобто, натяг глюонної струни однаковий для три-кваркової взаємодії та для кварк-антикваркової взаємодії, i, здається, не залежить вiд форми.

Згідно з теоремою Елітцура, калібрувальну теорію неможливо спонтанно порушити, тому ми не можемо ввести параметр, аналогічний параметру порядку в моделі Ізінга або теорії Ландау-Гінзбурга. Тим не менше, можна відокремити три можливі фази, що відрізняються асимптотичною поведінкою петлі Вільсона.

Масивна фаза

Міжчастинковий потенціал є потенциалом Юкави:

${\displaystyle V(R)=-g^{2}{\frac {e^{-mR}}{R}}+2V_{0}}$

де ${\displaystyle V_{0}}$ є власною енергією взаємодіючих частинок. Значення петлі Вільсона визначається периметром контуру ${\displaystyle P(C)}$:

${\displaystyle W_{C}\sim \exp[-V_{0}P(C)]}$

Безмасова фаза

Міжчастинковий потенціал є звичайним Кулонівським потенціалом:

${\displaystyle V(R)=-{\frac {g^{2}(R)}{R}}+2V_{0}}$

при цьому ${\displaystyle g}$ залежить від ${\displaystyle R}$ не сильніше, ніж логарифмічно. Петля Вільсона дорівнює

${\displaystyle W_{C}\sim \exp[-2V_{0}T+g^{2}T/R]}$

та знову зводиться до залежності від периметра при ${\displaystyle R\gg V_{0}^{-1}}$.

Фаза конфайнменту (фаза магнітного безладу)

Потенціал асимптотично лінійний:

${\displaystyle V(R)=\sigma R+2V_{0}}$

Суттєвою відміною цієї фази від перших двох є залежність від площі петлі Вільсона ${\displaystyle A(C)}$:

${\displaystyle W_{C}\sim \exp[-\sigma A(C)-V_{0}P(C)]}$

Окрім QCD у чотирьох просторово-часових вимірах, двовимірна модель Швінгера також має конфайнмент. Компактні абелеві калібрувальні теорії також проявляють конфайнмент у 2 та 3 просторово-часових вимірах. Нещодавно був знайдений конфайнмент в елементарних збудженнях магнітних систем, званих спінонами.

• Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика. Введение в теорию кварков и глюонов. — М. : Мир, 1986. — 288 с.