Модель Ізінга

Модель Ізінга — модель статистичної системи, в якій можуть спостерігатися фазові переходи.

В моделі Ізінга «частинки» розташовані у вузлах регулярної ґратки і можуть перебувати в одному з двох станів. Кожну з них можна описати параметром, який умовно називають «спіном» і позначають S. Спін має значення +1 в одному з станів, і значення −1 в іншому. Частинки у різних вузлах ґратки взаємодіють між собою, причому енергія цієї взаємодії залежить від взаємної орієнтації «спінів». Повна енергія системи записується у вигляді:

${\displaystyle E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,}$

Зазвичай при розгляді моделі Ізінга обмежуються найближчими сусідами, тому енергію можна записати, як

${\displaystyle E=-J\sum _{ij}S_{i}S_{j}\,}$.

При додатних значеннях параметра J найменшу енергію має стан із паралельними спінами — усі спіни однинакові. Цей стан аналогічний феромагнітному.

При J < 0 найменшу енергію має антиферомагнітний стан з чергуванням спінів +1 та −1.

Ймовірність реалізацї кожного конкретного розподілу ${\displaystyle \{S_{i}\}}$ визначається його енергією і температурою.

${\displaystyle P=e^{-E/k_{B}T}}$,

де P — ймовірність, T — температура, а ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана.

При малій температурі ймовірність реалізації стану з найнижчою енергією найбільша, тобто система перебуватиме у впорядковому стані — феромагнітному або антиферомагнітному. При збільшенні температури ймовірності реалізації станів з різною енергією вирівнюються й більшу вагу має кількість різних мікростанів, які мають дану енергію, тобто ентропія. Ця кількість більша для невпорядкованих станів. При певній температурі можливий фазовий перехід.