Кривина Менгера

Нехай х, у і z три точки в Rⁿ; для простоти припустимо, що всі три точки різні і не лежать на одній прямій. Нехай Π ⊆ Rⁿ евклідова площина, натягнута на х, y і z, і нехай C ⊆ Π єдине евклідове коло на Π, що проходить через х, у і z (в описане коло х, у і z). Нехай R радіус C. Тоді кривизна Менгера c(х,,) точок х, y і z визначається за формулою

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {1}{R}}.}$

Якщо три точки лежать на одній прямій, то неформально можна вважати, що R дорівнює +∞, тоді за означенням c(x, y, z) = 0. Якщо якісь з точок х, у чи z збігаються, то означимо c(x, y, z) = 0.

Використовуючи відомі формули, що зв'язують між собою довжин сторін трикутника до його площі, отримаємо що

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {1}{R}}={\frac {4A}{|x-y||y-z||z-x|}},}$

де А позначає площу трикутника, з вершинами в точках x, y і z.

Інший спосіб обчислення кривизни Менгера:

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {2\sin \angle xyz}{|x-z|}}}$

де ${\displaystyle \angle xyz}$ — кут при вершині y трикутника з вершинами в точках x, y і z.

Також кривизну Менгера можна обчислити в загальному метричному просторі. Якщо X - метричний простір і х, y і z різні точки, нехай f - ізометрія з ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Кривизна Менгера цих точок

${\displaystyle c_{X}(x,y,z)=c(f(x),f(y),f(z)).}$

Зверніть увагу, що f не мусить бути визначена на всьому X, тільки на {х, у, z}, а значення c_Х(x, у, z) не залежить від вибору f.

Кривизна Менгера може бути використана щоб задати кількісні умови, коли множина в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ може бути спрямна. Для міри Бореля ${\displaystyle \mu }$ на евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ визначити

${\displaystyle c^{p}(\mu )=\int \int \int c(x,y,z)^{p}d\mu (x)d\mu (y)d\mu (z).}$

• Борелівська множина ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ спрямна, якщо ${\displaystyle c^{2}(H^{1}|_{E})<\infty }$, дe ${\displaystyle H^{1}|_{E}}$ позначає  одновимірну Гаусдорфову міру, визначену на множині ${\displaystyle E}$.[1]

• Кривина міри

• Leymarie, F. (September 2003). Notes on Menger Curvature. Архів оригіналу за 21 серпня 2007. Процитовано 19 листопада 2007.

1. Leger, J. (1999). Menger curvature and rectifiability. Annals of Mathematics (Annals of Mathematics) 149 (3): 831–869. JSTOR 121074. arXiv:math/9905212. doi:10.2307/121074.

• Tolsa, Xavier (2000). Principal values for the Cauchy integral and rectifiability. Proc. Amer. Math. Soc. 128 (7): 2111–2119. doi:10.1090/S0002-9939-00-05264-3.