Лема Бореля — Кантеллі

Спершу зазначимо, що ${\displaystyle \limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\subset \bigcup \limits _{n=m}^{\infty }A_{n}}$. Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

${\displaystyle P\left(\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\right)\leq P\left(\bigcup \limits _{n=m}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum \limits _{n=m}^{\infty }P\left(A_{n}\right)\rightarrow 0}$.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

${\displaystyle P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{\infty }A_{n}\right)=1}$

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=\prod \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}^{c})=\prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)}$

Зважаючи, що ${\displaystyle 1-x\leq e^{-x}}$ маємо

${\displaystyle \prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)\leq \prod _{n=k}^{m}e^{-P(A_{n})}=\exp(-\sum \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}))}$

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ тому:

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)\rightarrow 0}$

Однак виконується

${\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=P\left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)=1-P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)}$

звідки при ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ отримаємо бажаний результат.