Локальна дзета-функція

Нехай ${\displaystyle V}$ — афінний або проєктивний многовид над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Конгруенц-дзета-функція многовиду ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ визначається як формальний степеневий ряд

${\displaystyle Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)}$,

де ${\displaystyle \exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}}$, а ${\displaystyle N_{k}}$ — число точок ${\displaystyle V}$, що лежать у ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}$. Числа ${\displaystyle N_{k}}$ скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.

Локальною дзета-функцією називають функцію ${\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})}$, тут ${\displaystyle p}$ — характеристика поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ — комплексна змінна.

Візьмемо рівняння ${\displaystyle x=0}$, геометрично це означає, що ${\displaystyle V}$ — це просто точка. У цьому випадку всі ${\displaystyle N_{k}=1}$. Тоді

${\displaystyle Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}}$

Нехай ${\displaystyle V}$ — проєктивна пряма ${\displaystyle 0x=0}$ над ${\displaystyle F}$. Якщо ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q^{k}}}$, то ${\displaystyle V}$ має ${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$ точку: всі точки поля і нескінченну точку. Отже

${\displaystyle Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}}$

• ${\displaystyle Z(X,T)}$ подається у вигляді нескінченного добутку

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},}$

де ${\displaystyle x}$ пробігає всі замкнуті точки ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \deg x}$ — степінь ${\displaystyle x}$. У разі, якщо ${\displaystyle X=V}$, яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності ${\displaystyle x=[P]}$ точок ${\displaystyle P\in {\overline {V}}}$, де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем ${\displaystyle F}$. Степінь ${\displaystyle x}$ — це степінь розширення поля ${\displaystyle F}$, породженого координатами ${\displaystyle P}$. Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку ${\displaystyle Z(X,T)}$ дорівнюваиме твірній функції

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

• Якщо ${\displaystyle E}$ — еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює

${\displaystyle Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}}$

• Якщо ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k}}$, то ${\displaystyle Z(T)}$ збігається у відкритому крузі радіуса ${\displaystyle R=A^{-1}}$.

• Якщо ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}}$, причому ${\displaystyle Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)}$ — відповідні дзета-функції, то ${\displaystyle Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)}$.

• Якщо ${\displaystyle N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}}$, то ${\displaystyle Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}}$.

L-функція Гассе — Вейля визначається через конгруенц-дзета-функцію так:

${\displaystyle L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}}$

Якщо ${\displaystyle C}$ — проєктивна неособлива крива над ${\displaystyle F}$, то можна показати, що

${\displaystyle Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,}$

де ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен степеня ${\displaystyle 2g}$, де ${\displaystyle g}$ — рід кривої ${\displaystyle C}$. Подамо

${\displaystyle P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}}$

Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів ${\displaystyle \zeta (X,s)}$ дорівнює ${\displaystyle 1/2}$.

Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$. Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.

Із формули сліду Лефшеца для морфізму Фробеніуса виходить, що

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.}$

Тут ${\displaystyle X}$ — відділювана схема скінченного типу над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, а ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}}$ — геометрична дія Фробеніуса на ${\displaystyle \ell }$-адичній етальній когомології з компактним носієм ${\displaystyle {\overline {X}}}$. Це показує, що дана дзета-функція є раціональною функцією ${\displaystyle T}$.

• Дзета-функції
• Гіпотези Вейля
• Еліптична крива
• Етальна когомологія

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М. : Мир, 1987. — 428 с.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М. : Мир, 1988. — 319 с.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981. — 597 с.