Теорема Гассе про еліптичні криві

Узагальненням рамок Гассе для алгебраїчних кривих вищого роду є рамки Гассе — Вейля. Вони встановлюють обмеження на кількість точок кривої над скінченним полем. Нехай ${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$ – кількість точок кривої ${\displaystyle C}$ роду ${\displaystyle g}$ над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, тоді

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Цей результат також еквівалентний визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції ${\displaystyle C}$, і є аналогом гіпотези Рімана для поля функцій, асоційованого з кривою.

Рамки Гассе — Вейля зводяться до звичайних рамок Гассе при застосуванні до еліптичних кривих, бо вони мають рід ${\displaystyle g=1}$.

Рамки Гассе — Вейля є наслідком гіпотез Вейля, висунутих Андре Вейлем у 1949 році.[3] Ці гіпотези були доведені в 1974 році П'єром Делінем.[4]

• Алгоритм Шуфа

• Hurt, Norman E. (2003). Many Rational Points. Coding Theory and Algebraic Geometry. Mathematics and its Applications 564. Dordrecht: Kluwer/Springer-Verlag. ISBN 1-4020-1766-9. MR 2042828.
• Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009). Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-6911-0288-7. MR 2573098.
• Chapter V of Silverman, Joseph H. (1994). The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 106. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96203-0. MR 1329092.
• Washington, Lawrence C. (2008). Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed. Discrete Mathematics and its Applications. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-4200-7146-7. MR 2404461.