Матриці Адамара

• Матриця Адамара H порядку n задовільняє рівнянню:

${\displaystyle H^{\mathrm {T} }H=nI\ }$

де I — одинична матриця розміру n.

• Отже

${\displaystyle \ \det H=\pm \;n^{n/2}}$.

• Розмір матриць Адамара може бути 1, 2 чи бути кратним 4.

• Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}}$ є матрицею Адамара порядку 2n.

${\displaystyle H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\quad ...\quad H_{2^{k+1}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k}}&H_{2^{k}}\\H_{2^{k}}&-H_{2^{k}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k}},}$

де ${\displaystyle \ k\in N}$, а ${\displaystyle \otimes }$ означає добуток Кронекера.

Зокрема,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$.

Такі матриці мають додаткові властивості:

• матриці є симетричними;
• слід матриці дорівнює нулю;
• всі елементи першого рядка і першого стовпця додатні, тобто дорівнюють (+1).
• всі інші рядки і стовпці мають порівну від'ємних і додатних елементів.

Такі матриці, а також матриці з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

1. матриця залишалась симетричною
2. кількість змін знаків стовпцях наростала зліва направо

ще називаються матрицями Уолша.

${\displaystyle W_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}}}$

• Побудова Пелі

• Гантмахер Ф. Р. (1967). IX. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.