Побудова Пелі

Побудова Пелі — це метод побудови матриць Адамара за допомогою скінченного поля. Побудову описав 1933 року англійський математик Реймонд Пелі.

Побудова Пелі використовує квадратичні лишки в скінченному полі GF(q), де q є степенем непарного простого числао. Є дві версії побудови, що залежать від того, q порівнянне з 1 чи 3 за модулем 4.

Квадратний характер і матриця Якобсталя

Квадратний характер показує, чи є елемент a скінченного поля повним квадратом. Зокрема, , якщо для деякого ненульового елемента скінченного поля b, і , якщо a не є квадратом будь-якого елемента скінченного поля. Наприклад, в GF(7) ненульовими квадратами є , і . Отже, і .

Матриця Якобсталя Q для є матрицею з рядками і стовпцями, індексованими елементами скінченного поля, такою, що елемент у рядку a і стовпці b рівний . Наприклад, у GF(7), якщо рядки та стовпці матриці Якобсталя індексовані елементами поля 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, то

Матриця Якобсталя має властивості і , де E  одинична матриця, а J рівна матриці, в якій усі елементи дорівнюють −1. Якщо q порівнянне з 1 (mod 4), то −1 є квадратом у GF(q), звідки випливає, що Q є симетричною матрицею. Якщо q порівнянне з 3 (mod 4), то −1 не є квадратом і Q є кососиметричною матрицею. Якщо q — просте число, Q є циркулянтом. Тобто кожен рядок виходить з рядка вище циклічною перестановкою.

Побудова Пелі I

Якщо q порівнянне з 3 (mod 4), то

є матрицею Адамара розміру . Тут j — вектор-стовпець довжини q, що складається з −1, а E  одинична матриця. Матриця H є косоадамаровою матрицею, це означає, що вона задовольняє рівності .

Побудова Пелі II

Якщо q порівнянне з 1 (mod 4), то матриця, отримана заміною всіх 0 у

на матрицю

,

а всіх елементів на матрицю

,

є матрицею Адамара розміру . Це симетрична матриця Адамара.

Приклади

Якщо застосувати побудову Пелі I до матриці Якобсталя для GF(7), отримаємо матрицю Адамара,

11111111
-1--1-11
-11--1-1
-111--1-
--111--1
-1-111--
--1-111-
---1-111.

Як приклад побудови Пелі II, коли q є степенем простого, а не простим числом, розглянемо GF(9). Це розширення поля GF(3), отримане додаванням кореня незвідного квадратного многочлена. Різні незвідні квадратні многочлени дають еквівалентні поля. Якщо вибрати і корінь a цього многочлена, дев'ять елементів GF(9) можна записати у вигляді . Ненульовими квадратами будуть і . Матриця Якобсталя дорівнює

Це симетрична матриця, що складається з циркулярних блоків. Побудова Пелі II дає симетричну матрицю Адамара,

1- 111111 111111 111111
-- 1-1-1- 1-1-1- 1-1-1-

11 1-1111 ----11 --11--
1- --1-1- -1-11- -11--1
11 111-11 11---- ----11
1- 1---1- 1--1-1 -1-11-
11 11111- --11-- 11----
1- 1-1--- -11--1 1--1-1

11 --11-- 1-1111 ----11
1- -11--1 --1-1- -1-11-
11 ----11 111-11 11----
1- -1-11- 1---1- 1--1-1
11 11---- 11111- --11--
1- 1--1-1 1-1--- -11--1

11 ----11 --11-- 1-1111
1- -1-11- -11--1 --1-1-
11 11---- ----11 111-11
1- 1--1-1 -1-11- 1---1-
11 --11-- 11---- 11111-
1- -11--1 1--1-1 1-1---.

Гіпотеза Адамара

Розмір матриці Адамара має дорівнювати 1, 2 або бути кратним 4. Добуток Кронекера двох матриць Адамара розмірів m і n буде матрицею Адамара розміру mn. При утворенні добутку Кронекера матриць з побудови Пелі і матриці,

виходять матриці Адамара будь-якого допустимого розміру аж до 100, за винятком 92. У статті 1933 Пелі каже: «Цілком імовірно, що у випадку, коли m ділиться на 4, можна побудувати ортогональну матрицю порядку m, що складається з , але загальна теорема має низку труднощів». Це, мабуть, перша публікація твердження гіпотези Адамара. Матрицю розміру 92, зрештою, побудували Баумерт, Ґоломб і Голл за допомогою побудови Вільямсона, поєднаної з комп'ютерним пошуком. Нині показано, що матриці Адамара існують для всіх для .

Див. також

Примітки

    Література

    • Paley R.E.A.C. On orthogonal matrices // Journal of Mathematics and Physics.  1933. Т. 12 (7 лютого). С. 311–320.
    • Baumert L. D., Golomb S. W., Hall M. Jr. Discovery of an Hadamard matrix of order 92 // Bull. Amer. Math. Soc..  1962. Т. 68, вип. 3 (7 лютого). С. 237–238. DOI:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7.
    • MacWilliams F.J., Sloane N.J.A. The Theory of Error-Correcting Codes. — 1977. — С. 47, 56. — ISBN 0-444-85193-3.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.