Метод невизначених множників

Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа — метод знаходження умовного локального екстремуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу з пошуку умовного екстремуму до задачі на знаходження безумовного екстремуму.

Знайти x і y, що максимізують f(x, y) за умови, що g(x, y) = c (показана червоним).

Задача

Нехай потрібно знайти екстремум функції n змінних за s умов

, де .

Опис методу

Вводячи s невизначених множників Лагранжа , побудуємо функцію Лагранжа

.

Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:

,
.

Використання

Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.

Приклад

Приклад 1

Знайти прямокутник із найбільшою площею за заданого периметра p.

Розв'язок

Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції

за умови

.

Вводимо множник Лагранжа і шукаємо безумовний екстремум функції

Беручи похідні отримуємо систему рівнянь

Підставляючи значення та в останнє рівняння, отримуємо

.

Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.

Приклад 2

Ілюстрація задачі оптимізації з обмеженнями

Цей приклад вимагає складніших обчислень, але це все що задача з одним обмеженням.

Припустимо, що потрібно знайти найбільші значення

за умови, що - і -координати лежать на колі з центром в початку координат з радіусом . Тобто з таким обмеженням

Через те, що маємо лише одне обмеження, то маємо і лише один множник, скажімо .

Обмеження тотожна нулю на колі радіуса . Будь-яке кратне можна додати до не змінивши при цьому у цікавій нам області (на колі, що задовольняє наше обмеження).

звідки ми можемо порахувати градієнт:

І отже:

(iii) це наше вихідне обмеження. (i) означає, що або . Якщо тоді з (iii) і далі з (ii). Якщо ж , підставляючи у (ii) маємо . Підставляючи у (iii) і розв'язуючи щодо мажмо . Отже існує шість критичних точок :

Обчислюючи функцію мети в цих точках знаходимо, що

Отже, функція мети досягає глобального максимуму (за умови обмеження) у і глобального мінімуму в Точка це локальний мінімум а це локальний максимум що можна побачити використавши обрамлену матрицю Гесе для .

Зауважте, що хоча це критична точка , це не локальний екстремум Маємо, що

Маючи будь-який окіл , можна вибрати мале додатне і мале будь-якого знаку, щоб отримати значення як більше так і менше ніж . Це можна також побачити з того, що матриця Гесе для обчислена в цій точці (та й в будь-якій іншій знайденій критичній точці) являє собою невизначену матрицю. Кожна з критичних точок це сідлова точка .

Див. також

Джерела

1. Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. — К.: Вища шк., 1974. — 456 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.