Рівняння Лагранжа першого роду

Розглядається система N матеріальних точок із масами ${\displaystyle m_{i}\,}$, на які діють сили ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$. Крім того на рух матеріальних точок накладені ідеальні стаціонарні голономні зв'язки, рівняння яких задаються формулами

${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0}$,

де індекс α пробігає значення від 1 до s (s — кількість зв'язків).

В такому випадку еволюція системи задається наступною системою 3N диференційних рівнянь та s рівнянь зв'язку

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=\mathbf {F} _{i}+\sum _{\alpha =1}^{s}\lambda _{\alpha }\nabla _{i}f_{\alpha }}$,

де ${\displaystyle \lambda _{\alpha }\,}$ — s невизначених множників Лагранжа.

Дану систему рівнянь необхідно розв'язувати разом із системою рівнянь для зв'язків. Усього вона має ${\displaystyle 3N+s\,}$ невідомих: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ та ${\displaystyle \lambda _{\alpha }\,}$. Рівннянь теж ${\displaystyle 3N+s\,}$.

Система рівнянь Лагранжа дозволяє визначити сили реакції

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\sum _{\alpha =1}^{s}\lambda _{\alpha }\nabla _{i}f_{\alpha }}$.

• Механіка Лагранжа

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.