Метод чергування Шварца

У математиці метод чергування Шварца або процес чергування - це ітеративний метод, запроваджений у 1869-1870 рр. Германом Шварцом у теорії конформного відображення . При даних двох площинах,що накладаючись утворюються деяку складну площину, у кожній з яких можна було вирішити задачу Діріхле, Шварц описав ітеративний метод розв’язання задачі Діріхле в їх об'єднанні за умови, що їх перетин відповідає певному ряду вимог. Це був один із декількох методі побудови конформного відображення, розроблений Шварцом як внесок у задачу уніфікації, поставлену Ріманом у 1850-х роках і вперше точно розв'язати дану задачу змогли Кобі та Пуанкаре в 1907 році. Розв'язок містив схему для уніфікації об'єднання двох регіонів,якщо відомо, як уніфікувати кожну з них окремо, за умови, що їх перетин був топологічно диском або кільцем. З 1870 року Карл Нойман також сприяв цій теорії.

У 1950-х роках метод Шварца був узагальнений в теорії часткових диференціальних рівнянь до ітеративного методу пошуку розв'язку для еліптичної крайової задачі на області, яка є об'єднанням двох площин, що перекриваються. Він включає вирішення крайової задачі на кожному з двох окремих об'єктів (площин) по черзі, при цьому останні отриманні значення кожної ітерації стають граничними умовами для наступної. Він використовується в чисельному аналізі під назвою мультиплікативний метод Шварца (на противагу адитивному методу Шварца ) як метод декомпозиції задачі .

Історія
Оригінальний логотип DDM: представлення проблеми, розглянутої Х.А. Шварцом у 1870 році. Синій прямокутник спочатку був квадратним

Вперше ця задача була сформульований Г. А. Шварцом [1] і вона ж послужила теоретичним інструментом для наближення до загального розв'язку еліптичних часткових диференціальних рівнянь другого порядку,сам розв'язок було вперше доведено значно пізніше, у 1951 році, Соломоном Міхліном . [2]

Алгоритм

Оригінальна задача, яку розглядав Шварц, була задача Діріхле (з рівнянням Лапласа ) щодо області, що складається з кола і частково накладається із квадратом. Щоб вирішити задачу Діріхле на одному з двох об'єктів (квадрат або коло), значення рішення має бути відоме на кордоні : оскільки частина межі міститься в іншому об'єкті, задачу Діріхле необхідно вирішити спільно на двох одночасно. Через це введено ітеративний алгоритм:

  1. Зробити першу спробу вгадати розв’язок на дузі кола, яка міститься у квадраті
  2. Розв'язати задачу Діріхле на колі
  3. Використати рішення в (2) для наближення розв’язку на межі квадрата
  4. Розв’язати задачу Діріхле на квадраті
  5. Використати розв'язок у (4) для наближення рішення до межі кола, а потім перейти до кроку (2).

При наближенні розв'язків до перекритої частини,вони будуть однакові чи ми почали з квадрата чи з кола.

Оптимізовані методи Шварца

Швидкість зближення залежить як від величини перекриття між об'єктами, так і від граничних умов задачі. Підвищити швидкість зближення методів Шварца можна, вибравши відповідні граничні умови: ці методи називають оптимізованими методами Шварца. [3]

Дивись також

Примітки
  1. See his paper (Schwarz, 1870b)
  2. See the paper (Mikhlin, 1951): a comprehensive exposition was given by the same author in later books
  3. Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001). Optimized Schwarz Methods. 12th International Conference on Domain Decomposition Methods.

Список літератури

Оригінальні джерела

Конформне відображення та гармонічні функції

  • Nevanlinna, Rolf (1939). Über das alternierende Verfahren von Schwarz. J. Reine Angew. Math. 180: 121–128.
  • Nevanlinna, Rolf (1939). Bemerkungen zum alternierenden Verfahren. Monatshefte für Mathematik und Physik 48: 500–508. doi:10.1007/bf01696203.
  • Nevanlinna, Rolf (1953). Uniformisierung. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete 64. Springer.
  • Sario, Leo (1953). Alternating method on arbitrary Riemann surfaces. Pacific J. Math. 3 (3): 631–645. doi:10.2140/pjm.1953.3.631.
  • Morgenstern, Dietrich (1956). Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion. Z. Angew. Math. Mech. 36 (7–8): 255–256. doi:10.1002/zamm.19560360711.
  • Cohn, Harvey (1980). Conformal mapping on Riemann surfaces. Dover. с. 242–262. ISBN 0-486-64025-6. Cohn, Harvey (1980). Conformal mapping on Riemann surfaces. Dover. с. 242–262. ISBN 0-486-64025-6. , Розділ 12, Порядок чергування
  • Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005). Harmonic Measure. Cambridge University Press. ISBN 1139443097. Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005). Harmonic Measure. Cambridge University Press. ISBN 1139443097.
  • Freitag, Eberhard (2011). Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions. Springer. ISBN 978-3-642-20553-8. Freitag, Eberhard (2011). Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions. Springer. ISBN 978-3-642-20553-8.
  • de Saint-Gervais, Henri Paul (2016). Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-145-3. doi:10.4171/145. de Saint-Gervais, Henri Paul (2016). Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-145-3. doi:10.4171/145. , переклад французького тексту
  • Chorlay, Renaud (2007). L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux. с. 123–134. (цитується в де-Сен-Жерве)
  • Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer. ISBN 978-1461457251. Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer. ISBN 978-1461457251.

PDE та чисельний аналіз

  • Mikhlin, S.G. (1951). On the Schwarz algorithm. Doklady Akademii Nauk SSSR. n. Ser. (Russian) 77: 569–571. MR 0041329. Zbl 0054.04204.

Зовнішні посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.