Принцип симетрії Шварца

Нехай функція ${\displaystyle f(z)}$, є аналітичною (голоморфною) на деякій множині ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} .}$ Далі, нехай множина ${\displaystyle F=\partial G\cap \mathbb {R} }$ є непустою, і на цій множині функція приймає виключно дійсні значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції ${\displaystyle f}$ з множини ${\displaystyle G}$ на більшу множину ${\displaystyle G\cup F\cup {\overline {G}}}$, де ${\displaystyle {\overline {G}}=\{z:{\overline {z}}\in G\}}$, за допомогою функції:

${\displaystyle F(z)=f(z)}$ при ${\displaystyle z\in G}$

${\displaystyle F(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}$ при ${\displaystyle z\in {\overline {G}}}$

Припустимо, що задані області розширеної комплексної площини (сфери Рімана) ${\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {\overline {C}} }$, далі, ${\displaystyle \gamma _{1}\subset G_{1},\gamma _{2}\subset G_{2}}$ — дуги кіл на сфері Рімана (колам на сфері Рімана відповідають кола та прямі лінії звичайної комплексної площини). Позначимо через ${\displaystyle G_{1}^{*}}$ область, яка симетрична ${\displaystyle G_{1}}$ щодо ${\displaystyle \gamma _{1}}$, аналогічно визначається ${\displaystyle G_{2}^{*}}$. Для визначення симетрії щодо кола використовується поняття інверсії. Тепер, якщо ${\displaystyle f}$ аналітично (голоморфно) відображає ${\displaystyle G_{1}}$ на ${\displaystyle G_{2}}$, притому ${\displaystyle f(\gamma _{1})=\gamma _{2}}$, тоді ${\displaystyle f}$ може бути аналітично продовжена до аналітичного відображення ${\displaystyle G_{1}\cup \gamma _{1}\cup G_{1}^{*}}$ на ${\displaystyle G_{2}\cup \gamma _{2}\cup G_{2}^{*}}$. Таке продовження є єдиним і визначається в такий спосіб: якщо ${\displaystyle z\in G_{1},z\in G_{1},z^{*}\in G_{1}^{*}}$ є симетричними відносно ${\displaystyle \gamma _{1}}$ і ${\displaystyle f(z)=w\in G_{2}}$ то ${\displaystyle f(z^{*})=w^{*},}$ де ${\displaystyle w^{*}}$ є симетричним до ${\displaystyle w}$ відносно дуги ${\displaystyle \gamma _{2}.}$

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.