Мінімальний многочлен матриці
Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.
Властивості
- Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем визначити множину:
то буде ідеалом в кільці многочленів над полем . Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).
- Такі твердження є еквівалентними:
- є коренем многочлена p(x),
- λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
- λ є власним значенням матриці A.
- Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
- Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі , то многочлен p(x) у полі можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.
Обчислення
Визначимо I A, v як:
Дана множина є головним ідеалом. Нехай многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.
- Многочлен ділить p(x).
- Якщо d — найбільше натуральне число, таке що v, A(v), ... , Ad(v) є лінійно незалежними,тоді
- для деяких і
- Для базису {v1,..., vn} мінімальний многочлен рівний найменшому спільному кратному многочленів для всіх i = 1, ... , n.
Література
- Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц, вид. друге (1967), 576 с., Москва: Наука.
- Ланкастер П.. Теория матриц (1973), 282 с., Москва: Наука.
- Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.