Жорданова матриця

Жорданова матриця — квадратна блочно-діагональна матриця над полем , з блоками виду

Кожен блок називається жордановим блоком з власним значенням (власні значення в різних блоках, загалом, можуть збігатися).

Згідно з теоремою про жорданову нормальну форму, для довільної квадратної матриці над алгебрично замкнутим полем (наприклад, полем комплексних чисел ) існує невироджена квадратна (тобто оборотна, з відмінним від нуля визначником) матриця над , така, що

є жордановою матрицею. При цьому називається жордановою формою (або жордановою нормальною формою) матриці . У цьому випадку також кажуть, що жорданова матриця в полі подібна (або спряжена) цій матриці . І навпаки, в силу еквівалентного співвідношення

матриця подібна в полі матриці . Неважко показати, що введене таким чином відношення подібності є відношенням еквівалентності і розбиває множину всіх квадратних матриць заданого порядку над цим полем на неперетинні класи еквівалентності. Жорданова форма матриці визначена не однозначно, а з точністю до порядку жорданових блоків. Точніше, дві жорданові матриці подібні над тоді й лише тоді, коли вони складені з одних і тих самих жорданових блоків і відрізняються одна від одної лише розташуванням цих блоків на головній діагоналі.

Властивості

  • Кількість жорданових блоків порядку зі власним значенням в жордановій формі матриці можна обчислити за формулою
де  одинична матриця того ж порядку, що й , символ позначає ранг матриці, а , за визначенням, дорівнює порядку . Наведена формула випливає з рівності

Історія

Одним з перших таку форму матриці розглядав Каміль Жордан.

Варіації та узагальнення

  • Над полем дійсних чисел власні значення матриці (тобто корені характеристичного многочлена) можуть бути як дійсними, так і комплексними, причому комплексні власні значення, якщо вони є, присутні парами разом зі своїми комплексно спряженими: , де і  — дійсні числа . У дійсному просторі такій парі комплексних власних значень відповідає блок , і до зазначеного вище вигляду жорданових матриць додаються матриці, що містять також блоки виду , що відповідають парам комплексних власних значень:[1][2]

Див. також

  • Канонічна форма Вейра

Примітки

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Література

  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. — 576 с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
  • В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.