Наближення сильного зв'язку

Наближення сильного зв'язку - метод розв'язку рівняння Шредінгера для знаходження енергетичиних рівнів електронів у кристалічному твердому тілі в одноелектронному наближенні, в якому хвильова функція електрона будується як лінійна комбінація хвильових функцій атомів.

Гамільтоніан, що описує рух електрона в періодичному потенціалі в твердому тілі можна записати у вигляді

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +\sum _{n}V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ - приведена стала Планка, m - маса електрона, ${\displaystyle V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})}$ - потенціальна енергія електрона, зумовлена взаємодією з n-тим атомом, ${\displaystyle \mathbf {a} _{n}}$ - радіус-вектор n-го вузла.

Якщо функція ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ є власною функцією гамільтоніана

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )}$,

із енергією ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$, то в рамках методу сильного зв'язку хвильову функцію кристала шукають у вигляді

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=\sum _{n}\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}}$,

який задовільняє умові теореми Блоха

Наближення сильного зв'язку застосовують тоді, коли інтегралом перекриття функцій ${\displaystyle \phi }$, локалізованих на різних вузлах кристалічної ґратки можна знехтувати:

${\displaystyle \int \phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n}^{\prime })dV\approx 0}$ при ${\displaystyle n\neq n^{\prime }}$.

Тоді закон дисперсії для електронних рівнів запишеться у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {k} )={\mathcal {E}}_{0}+\sum _{n\neq n^{\prime }}w_{nn^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}}$,

де

${\displaystyle w_{nn^{\prime }}=\int \phi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})dV}$.

Аналогічну процедуру можна провести з будь-якою атомною орбіталлю. Як наслідок атомний енергетичний рівень ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ розщеплюється при взаємодії електрона з іншими атомами кристала у вузьку зону.