Надбудова (топологія)

У топології, надбудовою над топологічним простором X називається топологічний простір SX, що є фактором добутку $X\times [0,1]$ по відношенню еквівалентності $(x,0)\sim (x',0),\quad (x,1)\sim (x',1)$ :

SX=(X\times [0,1])/\{\forall x_{1},x_{2}\in X\quad (x_{1},0)\sim (x_{2},0),\quad (x_{1},1)\sim (x_{2},1)\}

Надбудова над колом. Початковий простір позначено синім кольором, верхню і нижню точки зеленим.

Надбудову можна уявляти як циліндр над простором X, у якому ототожнили в точку як верхню, так і нижню межу. Також можна розглядати надбудову як об'єднання двох конусів (верхнього і нижнього) над простором X, склеєних по спільній основі.

Властивості

Надбудова над простором X гомеоморфна джойнуу $X\star S^{0}$ простору X і двоточкової множини («нульвимірної сфери») $S^{0}$ .
Будь-яке неперервне відображення $f:X\to Y$ продовжується до неперервного відображення $Sf:SX\to SY$ за правилом $Sf(x,t)=(f(x),t)$ .
Гомологія надбудови є тісно пов'язаною з гомологією вихідного простору, відрізняючись (за винятком нульвимірних просторів) фактично зміщенням на одну розмірність. А саме:

\forall n\geq 1,~H_{n+1}(SX)=H_{n}(X),\quad H_{0}(X)=H_{1}(SX)\oplus \mathbb {Z} ,\quad H_{0}(SX)=\mathbb {Z} .

\forall n\geq 0,~{\tilde {H}}_{n+1}(SX)={\tilde {H}}_{n}(X),\quad {\tilde {H}}_{0}(SX)=0.

Приведені гомології зміщуються рівно на одну розмірність:

\forall n\geq 0,~{\tilde {H}}_{n+1}(SX)={\tilde {H}}_{n}(X),\quad {\tilde {H}}_{0}(SX)=0.

Якщо топологічний простір X є CW-комплексом, то SX теж є CW-комплексом.
S є функтором із категорії топологічних просторів у себе.

Редукована надбудова

Редукованою (або зведеною) надбудовою топологічного простору з виділеною точкою (X, x₀) називається фактор-простір $X\times [0,1]$ по відношенню еквівалентності $(x,0)\sim (x',0)\sim (x'',1)\sim (x_{0},t)$ , де $x,x',x''\in X$ — довільні точки і $t\in [0,1]$ — будь-яке число в інтервалі.

Редукована надбудова позначається ΣX і її можна уявити як простір SX у якому лінія {x₀} × I , що сполучає верхню і нижню точки, стягуєтья в одну точку.

Властивості

Редукована надбудова простору X є гомеоморфною смеш-добутку простору X і одиничного кола S| :

\Sigma X=S^{1}\wedge X

більш загально:

\Sigma ^{n}X=S^{n}\wedge X.

Для багатьох важливих топологічних просторів, зокрема CW-комплексів, редукована надбудова є гомотопно еквівалентною звичайній.
Σ є функтором з категорії топологічних просторів із виділеною точкою у себе. Він є спряженим зліва до функтора, що переводить топологічний простір X в його простір петель ΩX, тобто є природний ізоморфізм:

{\text{Hom}}_{*}\left(\Sigma X,Y\right)\simeq {\text{Hom}}_{*}\left(X,\Omega Y\right).

Див. також

Література

Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.