Спряжені функтори

Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різних областях математики.

Неформально, функтори $F$ і $G$ є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню $\mathrm {Hom} (F(X),Y)=\mathrm {Hom} (X,G(Y))$ . Тоді $F$ називається лівим спряженим функтором, а $G$ — правим.

Мотивація

Спряжені функтори — один з ключових інструментів теорії категорій, багато важливих математичних конструкцій можна описати як спряжені функтори. В результаті із загальних теорем про спряжені функтори, таких як еквівалентність різних означень, і з того факту, що праві спряжені функтори комутують з границями (а ліві — з кограницями), можуть негайно випливати доведення багатьох цікавих результатів.

Розв'язок оптимізаційної задачі

Можна сказати, що спряжений функтор є способом вказівки найбільш ефективного розв'язку певної задачі за допомогою стандартного методу. Наприклад, елементарна проблема з теорії кілець — вкладення кільця без одиниці у кільце з одиницею. Найбільш ефективним способом це зробити є додавання в кільце одиниці, всіх елементів, необхідних для виконання аксіом кільця (наприклад, елементи типу $r + 1$ , де $r$ — елемент кільця) без припущення якихось співвідношень в новому кільці, які не потрібні для виконання аксіом. Ця конструкція є стандартною в тому сенсі, що вона працює для будь-якого кільця без одиниці.

Наведений вище опис є дуже розпливчастим але його можна зробити точним, використовуючи мову теорії категорій: конструкція є «найбільш ефективною», якщо вона задовольняє універсальні властивості, і «стандартною» в тому сенсі, що вона задає функтор. Універсальні властивості діляться на початкові і термінальні і оскільки ці поняття є двоїстими, досить розглянути одне з них.

Ідея використання початкової властивості полягає в тому щоб сформулювати проблему в термінах такої допоміжної категорії $E$ , щоб залишилося лише знайти початковий об'єкт $E$ . Таке формулювання має ту перевагу, що завдання «знаходження найбільш ефективного розв'язку» стає чітким і в якомусь сенсі подібним до завданням знаходження екстремуму. Для вибору правильної категорії $E$ іноді потрібно підбирати непрості прийоми: у випадку півкільця $R$ потрібна категорія — це категорія, об'єкти якої — гомоморфізми кілець $R \to S$ , де $S$ — деяке кільце з одиницею. Морфізм в $E$ між $R \to S 1$ і $R \to S 2$ — комутативні трикутники виду $(R \to S 1, R \to S 2, S 1 \to S 2)$ , де $S 1 \to S 2$ — гомоморфізм кілець. Існування морфізма між $R \to S 1$ і $R \to S 2$ означає, що $S 1$ є не менш ефективним розв'язком задачі, ніж $S 2 : S 2$ має більше доданих елементів і (або) більше співвідношень між ними, ніж $S 1$ .

Метод визначає «найбільш ефективний» і «стандартний» розв'язок задач, якщо він задає спряжені функтори.

Формальні означення

Існують кілька еквівалентних означень спряжених функторів. Їх еквівалентність є елементарною але не тривіальною.

Означення за допомогою універсальної стрілки ^[⇨] легко сформулювати, воно також найближче до інтуїції з приводу «оптимізаційної задачі».

Означення за допомогою одиниці і коодиниці ^[⇨] є зручно для функторів, часто зустрічаються в алгебрі, тому що використовує формули, які можна перевірити безпосередньо.

Означення за допомогою множин $Hom$ ^[⇨] робить очевидною симетричність означення і прояснює причини для через які функтори називаються «спряженими».

Універсальна стрілка

Функтор $F : C \leftarrow D$ називається лівим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта $X$ категорії $C$ існує термінальна стрілка $ε X$ з $F$ у $X$ . Якщо для кожного $X$ у $C$ вибрати об'єкт $G 0 X$ у $D$ , для якого визначена термінальна стрілка $ε X : F (G 0 X) \to X$ , то існує єдиний функтор $G : C \to D$ , такий, що $GX = G 0 X$ і для будь-якого морфізма в категорії $C$ $f : X \to X'$ виконується $ε X' \circ FG (f) = f \circ ε X$ ; $F$ тоді називають лівим спряженим до функтора $G$ .

Функтор $G : C \to D$ називається правим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта $Y$ категорії $D$ існує початкова стрілка з $Y$ у $G$ . Якщо для кожного $Y$ у $D$ вибрати об'єкт $F 0 Y$ у $C$ , такий, що визначена початкова стрілка $η Y : Y \to G (F 0 Y)$ з $Y$ в $G$ , то існує єдиний функтор $F : C \leftarrow D$ , такий, що $FY = F 0 Y$ і $GF (g) \circ η Y = η Y' \circ g$ для $g : Y \to Y'$ — морфізма у $D$ ; $G$ тоді називають правим спряженим до функтора $F$ .

Функтор $F$ є лівим спряженим для $G$ тоді і тільки тоді, коли $G$ є правим спряженим для $F$ . Однак це не очевидно з означення через універсальну стрілку але очевидно завдяки означенню через одиницю і коодиницю.

Одиниця і коодиниця

Для задання одиниці і коодиниці в категоріях $C$ і $D$ потрібно зафіксувати два функтори $F : C \leftarrow D, G : C \to D$ і два натуральні перетворення:

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}

,

що називаються відповідно коодиницею і одиницею спряження, таких, що композиції

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

і

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

є тотожними перетвореннями $1 F$ і $1 G$ функторів $F$ і $G$ відповідно.

У такій ситуації $F$ є лівим спряженим для $G$ і $G$ є правим спряженим для $F$ . Іноді це відношення позначають $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ або просто $F\dashv G$ .

У формі рівнянь наведені вище умови на $(ε, η)$ називаються рівняннями коодиниці і одиниці:

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Означення через функтори Hom

Розглянемо два функтори $F : C \leftarrow D$ і $G : C \to D$ . Нехай існує натуральний ізоморфізм:

{\displaystyle \Phi

.

Він визначає сім'ю бієкцій:

\Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)

.

для всіх об'єктів $X$ у $C$ і $Y$ у $D$ .

Тут $F$ називається лівим спряженим для $G$ і $G$ — правим спряженим для $F$ .

Щоб зрозуміти, що мається на увазі під натуральністю $Φ$ , потрібно пояснити, яким чином $hom C (F -, -)$ і $hom D (-, G -)$ є функторами. Насправді, вони обидва є біфункторами з $D op \times C$ у $Set$ . В явному вигляді натуральність $Φ$ означає, що для всіх морфізмів $f : X \to X'$ у $C$ і морфізма $g : Y' \to Y$ у $D$ діаграма нижче комутує:

Naturality of Φ

Вертикальні стрілки на діаграмі породжуються композиціями морфізмів. Наприклад, для h у Hom_C(FY, X) за означенням Hom(Fg, f) : Hom_C(FY, X) → Hom_C(FY′, X′) задається як h → f o h o Fg . Подібним є і означення Hom(g, Gf).

В інший спосіб можна описати натуральність так, що для всіх об'єктів $X, X'$ у $C$ і $Y, Y'$ у $D$ , для всіх морфізмів h у Hom_C(FY, X) і $f : X \to X'$

\Phi _{Y,X'}(f\circ h)=G(f)\circ \Phi _{Y,X}(h)

і для всіх морфізмів j у Hom_C(Y , GX) і $g : Y' \to Y$ :

\Phi _{Y',X}^{-1}(j\circ g)=\Phi _{Y,X}^{-1}\circ F(g).

Приклади

Вільні групи

Конструкція вільної групи є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай $F : Grp \leftarrow Set$ — функтор, який множині $Y$ зіставляє вільну групу, породжену елементами $Y$ , і $G : Grp \to Set$ — забуваючий функтор, що зіставляє групі $X$ її множину-носій. Тоді $F$ — лівий спряжений для $G$ :

Термінальні стрілки: для кожної групи $X$ , група $FGX$ — вільна група, породжена елементами $X$ як множиною. Нехай $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ — гомоморфізм груп, який переводить породжуючі елементи $FGX$ у відповідні елементи $X$ . Тоді $(GX,\varepsilon _{X})$ — термінальний морфізм з $F$ у $X$ , тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи $FZ$ в $X$ розкладається через $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ за допомогою єдиної функції з множини $Z$ в множину $X$ . Це означає, що $(F, G)$ — пара спряжених функторів.

Множині Hom відображення з вільної групи $FY$ у групу $X$ однозначно відповідають відображенням множини $Y$ у множину $GX$ : кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара $(F, G)$ є спряженою.

Подальші приклади з алгебри

Всі вільні об'єкти — результати застосування вільного функтора, який є лівим спряженим для забуваючого функтора.
добутки, ядра і вирівнювачі — приклади категорних границь. Всі такі функтори є правими спряженими до діагонального функтора. Аналогічно, кодобуток, коядра і ковирівнювачі є кограницями і є лівими спряженими до діагонального функтора.
Додавання одиниці в кільце без одиниці (приклад з розділу «Мотивація»). Якщо задано кільце без одиниці $R$ , то відповідне йому кільце з одиницею — добуток $R \times Z$ , на якому задано $Z$ -білінійний добуток за формулою $(r, 0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r , 0), (r, 0)(s, 0) = (rs, 0), (0,1)(0,1) = (0,1)$ . Побудований функтор є спряженим зліва до забуваючого функтора, що відправляє кільце з одиницею в те ж кільце у категорії кілець, що можуть не мати одиниці.
Розширення кілець. Нехай $R$ і $S$ — кільця, і $ρ: R \to S$ — гомоморфізм кілець . Тоді $S$ можна розглядати як (лівий) $R$ -модуль, і тензорний добуток з $S$ визначає функтор $F : R - Mod \to S - Mod$ . Тоді $F$ є спряженим зліва до забуваючого функтора $G : S - Mod \to R - Mod$ .
Тензорні добутки. Якщо $R$ — кільце і $M$ — правий $R$ -модуль, то тензорний добуток з $M$ визначає функтор $F : R - Mod \to Ab$ . Функтор $G : Ab \to R - Mod$ , визначений як $G (A) = hom Z (M, A)$ є спряженим справа до $F$ .
Поле часток. Для категорії $Dom m$ областей цілісності і ін'єктивних гомоморфізмів, забуваючий функтор $Field \to Dom m$ має лівий спряжений, що зіставляє кожній області цілісності її поле часток.
Кільця многочленів . Для $Ring *$ — категорії комутативних кілець із зазначеним елементом і гомоморфізмів, що зберігають зазначений елемент, забуваючий функтор $G: Ring * \to Ring$ має лівий спряжений — він зіставляє кільцю $R$ пару $(R [x], x)$ , де $R [x]$ — кільце многочленів з коефіцієнтами з $R$ .
Забуваючий функтор $U : Grp \to Mon$ із категорії груп у групу моноїдів має як лівий спряжений, так і правий спряжений функтори. Лівий спряжений зіставляє моноїду $M$ групу $M gp$ , яку можна одержати як факторгрупу вільної групи породженої елементами $[m],\ m\in M,$ по нормальній підгрупі породженій елементами виду $[mn][n]^{-1}[m]^{-1},\ m,n\in M.$ Правий спряжений функтор зіставляє моноїду його підгрупу оборотних елементів.
Абелізація. Забуваючий функтор $U : Ab \to Grp$ має лівий спряжений, що називається функтором абелізаціі, який кожній групі $G$ зіставляє факторгрупу по комутанту: $G ab = G /[G, G]$ . Для групи $G$ її абелізація має універсальну властивість: кожен гомоморфізм $\varphi$ із $G$ у абелеву групу $A$ однозначно записується як $\varphi ={\bar {\varphi }}\ \circ \ \mu ,$ де $\mu$ є відображенням факторизації $\mu :G\to G^{ab},$ а ${\bar {\varphi }}$ — однозначно визначеним гомоморфізмом абелевих груп.

Бієкцію між множинами

hom Ab (G ab, A)

і

hom Grp (G, U (A))

задається так: гомоморфізму абелевих груп

\psi :G^{ab}\to A

відповідає гомоморфізм

\psi \ \circ \ \mu ,

а гомоморфізму

\varphi

із

G

у абелеву групу

A

, визначений вище гомоморфізм

{\bar {\varphi }}.

Приклади з топології

Функтор з двома спряженими. Нехай $G$ — функтор, що зіставляє топологічному простору його множину-носій (тобто забуває топологію). У $G$ є лівий спряжений $F$ , який надає множині дискретну топологію, і правий спряжений $H$ , який надає множині тривіальну топологію.
Надбудова і простір петель. Для даних топологічних просторів $X$ і $Y$ можна побудувати простір $[SX, Y]$ класів гомотопії відображень з надбудови $SX$ у $Y$ . Він є ізоморфним простору $[X, Ω Y]$ класів гомотопії відображень з $X$ у простір петель $Ω Y$ , тому функтори надбудови і простору петель є спряженими в гомотопічній категорії топологічних просторів.
Вкладення $G : KHaus \to Top$ категорії компактних гаусдорфових просторів в категорію топологічних просторів має лівий спряжений функтор $F : Top \to KHaus$ — компактифікацію Стоуна — Чеха. Коодиниця цієї пари задає неперервне відображення з довільного топологічного простору $X$ у його компактифікацію. Це відображення є вкладенням тоді і тільки тоді, коли $X$ — цілком регулярний простір.

Властивості

Існування

Не кожен функтор $G : C \to D$ має лівий або правий спряжений. Якщо $C$ — повна категорія, то згідно теореми про спряжені функтори Петера Фрейда $G$ має лівий спряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого $Y$ з категорії $D$ існує сім'я морфізмів:

f i : Y \to G (X i)

,

де індекси $i$ пробігають множина $I$ , таке, що будь-який морфізм:

h : Y \to G (X)

може бути записаний як:

h = G (t) o f i

для деякого $i$ e $I$ і деякого морфізма:

t : X i \to X e C

.

Аналогічне твердження характеризує функтори, що мають правий спряжений.

Єдиність

Якщо функтор $F : C \leftarrow D$ має два правих спряжених $G$ і $G'$ , то $G'$ і $G$ є натурально ізоморфними.

Навпаки, якщо $F$ є спряженим зліва до $G$ , і $G$ натурально ізоморфний $G'$ , то $F$ також є спряженим зліва до $G'$ .

Композиція

Для спряжень можна ввести композиції. Якщо $< F, G, ε, η>$ — спряження між $C$ і $D$ , і $< F', G', ε ', η'>$ — спряження між $D$ і $E$ , то функтор

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

є спряженим зліва до функтора

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

.

Можна утворити категорію, об'єктами якої є всі малі категорії, а морфізмами — спряження.

Комутування з границями

Найбільш важлива властивість спряжених функторів — їх неперервність: кожний функтор, що має лівий спряжений (тобто є правим спряженим), комутує з границями в категорному сенсі. Відповідно, функтор, що має правий спряжений, є конеперервним, тобто комутує з кограницями. Оскільки багато конструкцій є границями або кограницями, з цього відразу випливає кілька наслідків. Наприклад:

Застосування правого спряженого функтора до добутку дає добуток образів.
Застосування лівого спряженого функтора до кодобутку дає кодобуток образів.
Кожний правий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним зліва.
Кожний лівий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним справа.

Див. також

Література

И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.