Функтор

Одномісним коваріантним функтором ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ з категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у категорію ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, називається пара відображень ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Ob}\colon Ob\,{\mathcal {C}}\to Ob\,{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {Hom} }\colon \mathrm {Hom} \,{\mathcal {C}}\to \mathrm {Hom} \,{\mathcal {D}}}$ що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

1. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}\,}$ для кожного ${\displaystyle A\in Ob\,{\mathcal {D}}}$;
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$ для будь-яких морфізмів ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ і ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(B,C)}$.

Функтор з категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}}$, двоїстої категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, у категорію ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ називається одномісним контраваріантним функтором з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Таким чином для контраваріантного функтора ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$ для будь-яких морфізмів ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(B,C)}$.

n-містним функтором з категорій ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3},...,{\mathcal {C}}_{n}}$ в категорію ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, коваріантним за аргументами ${\displaystyle 1<i_{1}<i_{2}<...<i_{k}<n}$ і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\bar {\mathcal {C}}}_{i}}$ у категорію ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, де ${\displaystyle {\bar {\mathcal {C}}}_{i}={\mathcal {C}}_{i}}$ при ${\displaystyle i=i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ і ${\displaystyle {\bar {\mathcal {C}}}_{i}={\mathcal {C}}_{i}^{*}}$ при інших i. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.

1. Функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$, що відображає кожен об'єкт категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в деякий фіксований об'єкт X категорії ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, а кожен морфізм категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
2. Тотожне відображення довільної категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається ${\displaystyle Id_{\mathcal {C}}}$.
3. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — довільна категорія ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — категорія множин, А — фіксований об'єкт з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Зіставлення кожному ${\displaystyle X\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ множини ${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,X)}$ і кожному морфізму ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ відображення ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{f}^{A}\colon \mathrm {Hom} ^{A}(X)\to \mathrm {Hom} ^{A}(Y)}$, де ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{f}^{A}(g)=gf}$ для кожного ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} ^{A}(X)}$, є функтором з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються ${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{A}}$ і ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}}$ відповідно. Якщо ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категорія векторних просторів над полем K, то функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}\,}$ задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е^*. У категорії топологічних абелевих груп функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Q}\,}$, де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ визначає відображення кожної множини ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ в множину ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F(A),F(B)}$ зіставляючи морфізму ${\displaystyle f\colon A\to B}$ морфізм ${\displaystyle F(f)\colon F(A)\to F(B)}$. функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.