Надскладене число

Надскладене число натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники

Історія

Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак Жан-П'єр Кагане розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.[1]

Приклади

У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (послідовність A002182 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Номер Надскладене Розклад

на прості

Кількість

дільників

Розклад на

прайморіали

1 1 1
2 2 2
3 4 3
4 6 4
5 12 6
6 24 8
7 36 9
8 48 10
9 60 12
10 120 16
11 180 18
12 240 20
13 360 24
14 720 30
15 840 32
16 1260 36
17 1680 40
18 2520 48
19 5040 60
20 7560 64
21 10080 72
22 15120 80
23 20160 84
24 25200 90
25 27720 96
26 45360 100
27 50400 108
28 55440 120
29 83160 128
30 110880 144
31 166320 160
32 221760 168
33 277200 180
34 332640 192
35 498960 200
36 554400 216
37 665280 224
38 720720 240

Розклад на прості

У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число має єдиний розклад на прості:

де прості, і показники додатні цілі числа. Кількість дільників числа можна виразити так:

Таким чином, для надскладеного числа виконується таке:

  • Числа є першими простими числами.
  • Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто .
    • Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів.
  • За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 5 × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільність

Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

де позначає кількість надскладених чисел менших або рівних .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів Жан-Луї Ніколя 1988 року.

і

Властивості

  • Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими.
  • Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10;
    • перший контрприклад це 245 044 800: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. також

Примітки

  1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015). Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre. Notices of the American Mathematical Society 62 (2): 136–140..

Джерела


Посилання

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.