Рівнопотужність

Рівнопотужність відношення двох довільних (скінченних або нескінченних) множин, що означає, нестрого кажучи, що одна з множин містить стільки ж елементів, як і інша. Скінченні множини рівнопотужні тоді й лише тоді, коли вони містять однакові кількості елементів. Наприклад, множина традиційних зодіакальних сузір'їв і множина ребер куба рівнопотужні, оскільки обидві містять по 12 елементів.

Поняття рівнопотужності, введене Георгом Кантором 1878 року, розширює це відношення на нескінченні множини, на нього спирається визначення центрального в теорії множин поняття потужності множини. Кантор також визначив порівняння потужностей — якщо дві множини не рівнопотужні, то потужність однієї з них більша, ніж іншої (у доведенні використовується аксіома вибору).

Визначення

Взаємно-однозначна відповідність множин

Визначення 1. Функція яка визначена на множині і набуває значень у множині називається взаємно-однозначною відповідністю[1], якщо:

  • різним елементам відповідають різні елементи
  • кожен елемент поставлено у відповідність деякому елементу .

Легко бачити, що взаємно-однозначна відповідність як функція має (однозначну) обернену функцію, визначену на всій множині

Визначення 2. Дві множини називають рівнопотужними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність[2]. Варіанти термінології: рівнопотужні множини «мають однакову потужність» або «однакове кардинальне число».

У зазначеній відповідності будь-якому елементу кожної з рівнопотужних множин відповідає рівно один елемент іншої множини.

Різні автори пропонували різні символи для позначення рівнопотужності множин :

(позначення Кантора)
(позначення Бурбакі)
# = #

Далі в цій статті використовується перше позначення.

Приклади

Множина натуральних чисел і множина парних чисел рівнопотужні, оскільки кожному натуральному числу взаємно-однозначно відповідає парне число Всі множини, рівнопотужні називаються зліченними. Будь-яка нескінченна підмножина зліченна — наприклад, множина простих чисел.

Множина раціональних чисел зліченна, проте множина дійсних чисел вже незліченна.

Всі кола рівнопотужні. Щоб переконатися в цьому, побудуємо для кожного кола полярну систему координат з початком у центрі кола і поставимо у відповідність точки з однаковим полярним кутом.

Викладений підхід часто використовується, щоб визначити поняття нескінченної множини «за Дедекіндом»: множина називається нескінченною, якщо вона рівнопотужна своїй власній підмножині (тобто підмножині, що не збігається з усією )[3].

Властивості

Відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності:

  1. Кожна множина рівнопотужна сама собі.
  2. Якщо то
  3. Якщо і то

Отже, відношення рівнопотужності розбиває множини на неперетинні класи рівнопотужних множин. Це розбиття дозволило Кантору визначити поняття потужності множини як одного з таких класів (в аксіоматичній теорії множин поняття потужності вводиться трохи інакше, див. подробиці в статті про потужність множини).

З теореми Кантора випливає, що ніяка множина не може бути рівнопотужною множині своїх підмножин (яка завжди має більшу потужність)[4].

Теорема Кантора — Бернштейна: якщо з двох множин А і В кожна еквівалентна частині іншої, то ці дві множини рівнопотужні.

1877 року Кантор виявив низку незвичайних наслідків своєї теорії[5].

  • Скінченний відрізок прямої рівнопотужний всій нескінченній прямій.
  • Вся площина, будь-який квадрат на ній і відрізок прямої рівнопотужні.

Відношення рівнопотужності узгоджене (з певними обмеженнями) з теоретико-множинними операціями[6].

  • (Декартів добуток):
  • Якщо і то
  • (Об'єднання) Нехай причому не перетинається з не перетинається з Тоді

Примітки

Література

  • Верещагин Н. К., Шень А. Начала теории множеств. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
  • Кудрявцев Л. Д. Взаимно однозначное соответствие // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 690.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. М. : Мир, 1970. — 416 с.
  • Ященко И. В. Равномощность множеств / Парадоксы теории множеств. М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2002.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.