Орисфера

У фінслеровій геометрії, орисфера визначається як межа сімейства сфер, таким чином.

Зафіксуємо точку $p$ фінслерового простору та геодезичний промінь $l$ , що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер $S(r,O),\ O\in l$ , що проходять через точку $p$ , центри яких розташовані на промені $l$ . Межа послідовності цих сфер, коли радіус $r$ зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення

Орисфера $H_{l^{-}}$ , що проходить через точку $p$ , і побудована за променем $l^{-}$ , протилежно спрямованому променю $l$ , називається спряженою до орисфери $H_{l^{+}}$ , побудованої по променю $l$ .
Орикуля — тіло обмежене орисферою.
На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
Сімейство орисфер, для якого точка $p$ пробігає всю пряму $l$ , доповнене сімейством прямих «паралельних» $l$ утворює орициклічну систему координат.

Приклади

В евклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма. Отже, поняття орисфери в такому сенсі узагальнює поняття площини.

Простір Лобачевського

В залежності від моделі геометрії Лобачевського, орисфери мають такий вигляд:

В моделі Пуанкаре в кулі $\Delta ^{n}$ орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюту та круги, що проходять через центр сфери $\Delta ^{n}$ .
В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі $\mathbb {H} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|\ x_{n}>0\}$ орисферами будуть сфери, дотичні до площини $x_{n}=0$ (абсолюту) та площини $x_{n}=C,\ (C>0)$ .

Властивості орисфер у многовидах Адамара

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид недодатної секційної кривини. Прикладом буде простір Лобачевського, як многовид сталої секційної кривини −1.

У многовиді Адамару класу $C^{\infty }$ орисфера буде поверхнею класу $C^{2}$ [1]. Тому для орисфер у многовиді Адамара існує нормальна кривина в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомо, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами $0>-k_{1}^{2}\geqslant K_{\sigma }\geqslant -k_{2}^{2},\ k_{1},k_{2}>0$ нормальна кривина сфер обмежена ${k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}$ [2]. Оскільки, орисфера буде межею сфер, то нормальна кривина орисфер буде обмеженою: ${k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}.$

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у просторі Лобачевського дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, індукованій простором Лобачевського, орисфера ізометрична евклідовому простору.

Просте доведення.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд

ds^{2}={\frac {dx_{1}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}.

Тоді для орисфери $x_{n}=C,\ (C>0)$ отримуємо метрику евклідового простору.

Примітки

Щербаков С. А., Орисферическая координатная сеть на гиперболическом роге. Сборник «Геометрия». — Ленинград: Изд-во им. А. И. Герцена, 1977. C. 117–128.
Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию, СПб., Наука, 1994, c. 173

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Щербаков С. А., Орисферическая координатная сеть на гиперболическом роге. Сборник «Геометрия». — Ленинград: Изд-во им. А. И. Герцена, 1977. C. 117–128.

[2] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию, СПб., Наука, 1994, c. 173