Простір Лобачевського

Гіперболоїдна модель реалізує простір Лобачевського як гіперболоїд у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1,...,n\}}$. Гіперболоїд є геометричним місцем ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ точок, координати яких задовольняють рівнянню

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.}$

У цій моделі пряма (тобто, по суті, геодезична) — це крива, утворена перетином ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ з площиною, що проходить через початок координат у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Гіперболоїдна модель тісно пов'язана з геометрією простору Мінковського. Квадратична форма

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},}$

яка визначає гіперболоїд, дозволяє задати відповідну білінійну форму

${\displaystyle B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}.}$

Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, забезпечений білінійною формою B, є (n+1)-вимірним простором Мінковського ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$.

Можна задати «відстань» на гіперболоїдній моделі, визначивши[1] відстань між двома точками x і y на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ як

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arch} B(x,y).}$

Ця функція є метрикою, оскільки для неї виконуються аксіоми метричного простору. Вона зберігається під дією ортохронної групи Лоренца O⁺(n,1) на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$. Отже, ортохронна група Лоренца діє на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ як група автоморфізмів, що зберігають відстань, тобто рухів.

Альтернативною моделлю геометрії Лобачевського є певна область у проєктивному просторі. Квадратична форма Мінковського Q визначає підмножину ${\displaystyle U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}}$, задану як множина точок, для яких ${\displaystyle Q(x)>0}$ в однорідних координатах x. Область ${\displaystyle U^{n}}$ є моделлю Кляйна простору Лобачевського.

Прямими в цій моделі є відкриті відрізки об'ємного проєктивного простору, які лежать в ${\displaystyle U^{n}}$. Відстань між двома точками x і y в ${\displaystyle U^{n}}$ визначається як

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right).}$

Ця відстань цілком визначена на проєктивному просторі, оскільки число ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}}$ не змінюється при зміні всіх координат на один і той самий множник (з точністю до якого й визначено однорідні координати).

Ця модель пов'язана з гіперболоїдною моделлю так. Кожна точка ${\displaystyle x\in U^{n}}$ відповідає прямій ${\displaystyle L_{x}}$ через початок координат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ за визначенням проєктивного простору. Ця пряма перетинає гіперболоїд ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ в єдиній точці. І навпаки: через будь-яку точку на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ проходить єдина пряма, що проходить через початок координат (що є точкою в проективному просторі). Ця відповідність визначає бієкцію між ${\displaystyle U^{n}}$ і ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Це ізометрія, оскільки обчислення d(x,y) уздовж ${\displaystyle Q(x)=Q(y)=1}$ відтворює визначення відстані в гіперболоїдній моделі.

Є дві тісно пов'язані моделі геометрії Лобачевського в евклідовій: модель Пуанкаре в кулі і модель Пуанкаре у верхній півплощині.

Модель кулі виникає зі стереографічної проєкції гіперболоїда в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ у гіперплощину ${\displaystyle \{x_{0}=0\}}$. Детальніше: нехай S буде точкою в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$ з координатами (-1,0,0,…,0) — південним полюсом для стереографічної проекції. Для кожної точки P на гіперболоїді ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ нехай P^∗ буде єдиною точкою перетинів прямої SP із площиною ${\displaystyle \{x_{0}=0\}}$.

Це встановлює бієктивне відображення ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ в одиничну кулю

${\displaystyle B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\}}$

в площині {x₀ = 0}.

Геодезичні в цій моделі є півколами, перпендикулярними до межі сфери ${\displaystyle B^{n}}$. Ізометрії кулі утворюються сферичними інверсіями відносно гіперсфер, перпендикулярних межі.

Модель верхньої півплощини виходить з моделі Пуанкаре в кулі при застосуванні інверсія з центром на межі моделі Пуанкаре ${\displaystyle B^{n}}$ (див. вище) і радіусом, рівним подвоєному радіусу моделі.

Це перетворення відображає кола в кола і прямі (в останньому випадку — якщо коло проходить через центр інверсії) — і, більш того, це конформне відображення. Отже, в моделі верхньої півплощини геодезичними є прямі і (пів)кола, перпендикулярні до межі гіперплощини.

Двовимірні гіперболічні поверхні можна також розуміти як ріманові поверхні. Згідно з теоремою про уніформізацію будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною або гіперболічною. Більшість гіперболічних поверхонь мають нетривіальну фундаментальну групу ${\displaystyle \pi _{1}=\Gamma }$. Групи, які виникають таким чином, називаються фуксовими. Фактор-простір ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}/\Gamma }$ верхньої півплощини у фундаментальній групі називають фуксовою моделлю гіперболічної поверхні. Верхня півплощина Пуанкаре також гіперболічна, але однозв'язна і не компактна. Тому вона є універсальним накриттям інших гіперболічних поверхонь.

Аналогічною побудовою Для тривимірних гіперболічних поверхонь є модель Кляйна.