Теорема Больцано — Веєрштрасса

Ця теорема доведена в 1817 році[1][2] чеським математиком Бернардом Больцано (1781–1848), на півстоліття пізніше була незалежно отримана Карлом Веєрштрассом (1815–1897).

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ — топологічний простір, ${\displaystyle A}$ — підмножина ${\displaystyle X}$. Тоді:

• Якщо ${\displaystyle A}$ — компакт, то для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ з ${\displaystyle A}$ будь-яка гранична точка цієї послідовності також належить ${\displaystyle A}$.
• І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ задовільняє другу аксіому зліченності, то ${\displaystyle A}$ є компактною підмножиною.

Зокрема якщо ${\displaystyle (X,\mathrm {T} )}$ задовільняє другу аксіому зліченності, то ${\displaystyle A}$ буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з ${\displaystyle A}$ гранична точка належить їй[3][4].

Нехай ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел, тобто

${\displaystyle {\bigl (}\exists a\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists b\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\forall n\in \mathbb {N} {\bigr )}\{\alpha \leq x_{n}\leq b\}}$

З неї завжди можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення

Розділимо відрізок ${\displaystyle [a,b]}$ точкою ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$ навпіл. Тоді хоча б один із відрізків

${\displaystyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}$ чи ${\displaystyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}$ —

містить нескінченну кількість членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$. Позначимо такий відрізок ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ . Аналогічно утворимо відрізки

${\displaystyle \left[a_{1},{\frac {a_{1}+b_{2}}{2}}\right]}$ та ${\displaystyle \left[{\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},b_{1}\right]}$,

хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

Позначимо його ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset [a_{4},b_{4}]\supset ....[a_{k},b_{k}]\supset ...}$,

довжина яких

${\displaystyle d_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ b_{k}-a_{k}={\frac {b-a}{2^{k}}}}$.

Оскільки

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }d_{k}=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {b-a}{2^{k}}}=0}$ ,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }b_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ c}$,

Виберемо послідовність ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$ так. Нехай ${\displaystyle x_{n_{1}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$;

${\displaystyle x_{n_{2}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ і такий, що ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$.

Такий член завжди існує, оскільки відрізок ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ містить нескінченно багато членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

І взагалі, ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ — будь-який із членів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, що належить відрізку ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]}$ і такий, що ${\displaystyle n_{k}>n_{k-1}}$.

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$, причому

${\displaystyle n_{1}<n_{2}<....<n_{k}<....}$

і виконують нерівності

${\displaystyle a_{k}\leq x_{n_{k}}\leq b_{k}}$

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=c}$.

З будь-якої послідовності дійсних чисел можна виділити підпослідовність, збіжну в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$.

Доведення

Нехай ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — довільна послідовність. Якщо ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — обмежена, то за теоремою Больцано — Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — необмежена зверху, то

${\displaystyle {\bigl (}\forall k\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\exists n_{k}\in \mathbb {N} {\bigr )}\{x_{n_{k}}>k\}}$.

Доведемо, що

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=+\infty }$ .

Справді, оскільки

${\displaystyle {\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}\{K>M\}}$,

то

${\displaystyle {\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\forall k>K{\bigr )}\{x_{n_{k}}>M\}}$,

що й означає виконання співвідношення.

• Часткова границя послідовності
• Верхня границя послідовності
• Нижня границя послідовності
• Фундаментальна послідовність
• Критерій Коші
• Три послідовності
• Послідовність вкладених відрізків

• Вища математика — 2. Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: В. В. Бакун. — К.: НТУУ «КПІ», 2013. — 270 с.
• Л. Д. Кудрявцев, Теорема Больцано — Вейерштрасса // Математическая энциклопедия. Том 1, онлайн (англ.): Bolzano-Weierstrass theorem // Encyclopedia of Mathematics