Полігамні моделі в епідеміології

Діаграма SIR моделі

Динаміка розвитку епідемії, наприклад, грипу, часто набагато швидша, ніж динаміка народження і смерті населення, тому, в простих полігамних моделях життєвий цикл населення досить часто опускається. SIR модель без врахування життєвого циклу населення(народження і смерті, або інколи називають демографією) може бути описана наступною системою диференціальних рівнянь:[6]

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}}}$,

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I}$,

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$.

Ця модель вперше була запропонована О. Кермаком та Андерсоном Греєм МакКендріком[4], особливий випадок якої називається теорією Кермака-МакКендріка.

Ця система є нелінійною й немає узагальненого аналітичного розв'язку. Проте, певні результати цієї моделі можуть бути отриманими аналітично.

По-перше, зауважимо, що:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0}$,

звідси випливає, що:

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\textrm {Constant}}=N}$,

де ${\displaystyle N}$ - чисельність населення, яка вважається сталою. Слід зазначити, що вищенаведене співвідношення означає, що постає необхідність розв'язувати рівняння, для двох із трьох змінних.

По-друге, слід зазначити, що динаміка інфекційного захворювання залежить від наступного співвідношення:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}}$,

тут ${\displaystyle R_{0}}$ - коефіцієнт поширення інфекції. Це співвідношення показує число нових випадків поширення інфекції, де всі особи є сприйнятливими до захворювання.[7][8] Ми зможемо краще зрозуміти цю ідею, якщо позначимо час контакту між особою й інфекцією ${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$, та час одужання ${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$. Звідси випливає, що, в середньому, кількість контактів зараженої людини з іншими людьми, перш ніж вона одужає дорівнюватиме ${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

Поділивши перше диференціальне рівняння на третє, відокремивши змінні та проінтегрувавши отримуємо:

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N}}$,

де ${\displaystyle S(0)}$ та ${\displaystyle R(0)}$ початкові значення сприйнятливих до захворювання й тих, що одужали осіб відповідно. Таким чином спрямувавши ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$, частка осіб, які одужали відповідатиме наступному рівнянню:

${\displaystyle R_{\infty }=N-S(0)e^{-R_{0}(R_{\infty }-R(0))/N}}$.

Це рівняння показує, що в кінці епідемії, навіть якщо ${\displaystyle S(0)=0}$, не всі особи популяції одужали, тому повинно залишатись певне число осіб сприйнятливих до захворювання. Це означає, що кінець епідемії спричинений скороченням числа інфікованих людей, а не повною відсутність сприйнятливих до захворювання осіб. Роль коефіцієнта поширення інфекції є надзвичайно важливою. Справді, переписавши рівняння зміни кількості інфікованих осіб наступним чином:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(R_{0}S/N-1)\gamma I}$,

отримуємо, якщо:

${\displaystyle R_{0}>{\frac {N}{S(0)}},}$

тоді

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

тобто відбудеться спалах епідемії зі зростанням числа інфікованих осіб. І навпаки, якщо

${\displaystyle R_{0}<{\frac {N}{S(0)}},}$

тоді

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

тобто, незалежно від початкової кількості сприйнятливих до захворювання осіб, хвороба ніколи не зможе спричинити спалах епідемії.

Зверніть увагу,що наведена раніше функція:

${\displaystyle F=\beta I,}$

яка моделює швидкість зміни сприйнятливих до захворювання осіб на інфікованих є силою дії інфекції. Однак для багатьох груп інфекційних захворювань, більш реалістично розглядати силу дії інфекції, яка залежить не від числа інфікованих осіб, а від частки цих осіб відносно всього населення:

${\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}.}$

У 2014 році Harko T. та ін.[9] отримали точний аналітичний розв'язок SIR моделі. У моделі без врахування життєвого циклу населення, для ${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}$, тобто забезпечується відповідність часовій параметризації

${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-R(0)+\rho \ln(u)-S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}$

для ${\displaystyle t=\int _{u}^{1}{\frac {N}{\beta s(N-R(0)+\rho \ln(s)-S(0)s)}}ds}$, ${\displaystyle \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }}}$, з початковими умовами ${\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0));}$ ${\displaystyle u_{T}<u<1}$, де ${\displaystyle u_{T}}$ задовольняє ${\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}$. З рівняння, описаного вище, для ${\displaystyle R_{\infty }}$ випливає що, ${\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}$, якщо ${\displaystyle S(0)\neq 0)}$ та ${\displaystyle I_{\infty }=0}$.