Правило Баєса

Для заданих подій ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ та ${\displaystyle B}$ правило Баєса стверджує, що умовні шанси ${\displaystyle A_{1}:A_{2}}$ за умови ${\displaystyle B}$ дорівнюють відособленим шансам ${\displaystyle A_{1}:A_{2}}$, помноженим на коефіцієнт Баєса або рівень правдоподібності ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}|B)=\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\cdot O(A_{1}:A_{2}),}$

де

${\displaystyle \Lambda (A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}}.}$

Тут шанси та умовні шанси, відомі також як апріорні та апостеріорні шанси, визначаються як

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2})={\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}},}$

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(A_{1}|B)}{P(A_{2}|B)}}.}$

В особливому випадку, коли ${\displaystyle A_{1}=A}$ та ${\displaystyle A_{2}=\neg A}$, пишуть ${\displaystyle O(A)=O(A:\neg A)}$, та використовують аналогічні скорочення для коефіцієнту Баєса та умовних шансів. Шанси ${\displaystyle A}$ за визначенням є шансами за та проти ${\displaystyle A}$. Відтак, правило Баєса може бути записано у скороченій формі

${\displaystyle O(A|B)=O(A)\cdot \Lambda (A|B),}$

або іншими словами: апостеріорні шанси ${\displaystyle A}$ дорівнюють апріорним шансам ${\displaystyle A}$, помноженим на рівень правдоподібності ${\displaystyle A}$ за умови інформації ${\displaystyle B}$. Коротко, апостеріорні шанси дорівнюють апріорним шансам, помноженим на рівень правдоподібності.

Це правило часто застосовується, коли ${\displaystyle A_{1}=A}$ та ${\displaystyle A_{2}=\neg A}$ є двома конкурентними гіпотезами стосовно причини деякої події ${\displaystyle B}$. Апріорні шанси ${\displaystyle A}$, іншими словами, шанси ${\displaystyle A}$ проти ${\displaystyle \neg A}$, виражають наші початкові переконання стосовно того, чи є ${\displaystyle A}$ істинним, чи ні. Подія ${\displaystyle B}$ представляє якесь свідчення, інформацію, дані або спостереження. Рівень правдоподібності є відношенням шансів спостереження ${\displaystyle B}$ відповідно до гіпотез ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle \neg A}$. Це правило каже нам, як мають уточнюватися наші апріорні переконання стосовно того, чи є ${\displaystyle A}$ істинним, чи ні, при отриманні інформації ${\displaystyle B}$.

Якщо ми розглядаємо ${\displaystyle A}$ як довільну, а ${\displaystyle B}$ як незмінну, то ми можемо переписати теорему Баєса ${\displaystyle P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)}$ у вигляді ${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$, де символ пропорційності означає, що зі зміною ${\displaystyle A}$ при незмінній ${\displaystyle B}$ ліва частина дорівнює правій частині, помноженій на сталу.

Словами — апостеріорне пропорційне апріорному, помноженому на правдоподібність. Цю версію теореми Баєса було спочатку названо «Правилом Баєса» Антуаном-Огюстеном Курно у 1843 році.[5] Курно популяризував ранішу працю Лапласа 1774 року,[4] який незалежно відкрив правило Баєса. Працю Баєса було опубліковано посмертно у 1763 році, але вона залишалася більш-менш невідомою, поки Курно не привернув увагу до неї.[6]

Правилу Баєса може віддаватися перевага перед звичайним формулюванням теореми Баєса з цілого ряду причин. По-перше, воно є інтуїтивно простішим для розуміння. Інша причина полягає в тому, що в нормалізації ймовірностей іноді немає необхідності: іноді потрібно знати лише співвідношення ймовірностей. Нарешті, виконання нормалізації часто простіше здійснювати після спрощення добутку апріорного та правдоподібності шляхом вилучення будь-яких множників, що не залежать від ${\displaystyle A}$, відтак нам не потрібно насправді обчислювати знаменник ${\displaystyle P(B)}$ у звичайному формулюванні теореми Баєса ${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}\cdot \,}$

У баєсовій статистиці правило Баєса часто застосовується із так званою некоректною апріорною ймовірністю, наприклад, рівномірним розподілом ймовірності над усіма дійсними числами. В такому випадку апріорний розподіл не існує як міра ймовірності в межах звичайної теорії ймовірності, й теорема Баєса сама по собі є не доступною.

Правило Баєса може застосовуватися кілька разів. Кожного разу, як ми спостерігаємо нову подію, ми уточнюємо шанси між подіями, що нас цікавлять, скажімо, ${\displaystyle A_{1}}$ та ${\displaystyle A_{2}}$, враховуючи цю нову інформацію. Для двох подій (повідомлень, свідчень) ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}|B\cap C)=\Lambda (A_{1}:A_{2}|B\cap C)\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\cdot O(A_{1}:A_{2}),}$

де

${\displaystyle \Lambda (A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}},}$

${\displaystyle \Lambda (A_{1}:A_{2}|B\cap C)={\frac {P(C|A_{1}\cap B)}{P(C|A_{2}\cap B)}}.}$

В особливому випадку двох взаємодоповнюваних подій ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle \neg A}$ еквівалентним записом є

${\displaystyle O(A|B,C)=\Lambda (A|B\cap C)\cdot \Lambda (A|B)\cdot O(A).}$

Розгляньмо приклад перевірки на вживання наркотиків зі статті про теорему Баєса.

Такі ж результати може бути отримано з використанням правила Баєса. Апріорні шанси того, що особа вживає наркотики, є 199 проти 1, оскільки ${\displaystyle \textstyle 0.5\%={\frac {1}{200}}}$ та ${\displaystyle \textstyle 99.5\%={\frac {199}{200}}}$. Коефіцієнт Баєса у разі позитивного результату перевірки особи є ${\displaystyle \textstyle {\frac {0.99}{0.01}}=99:1}$ на користь того, що особа вживає наркотики: це є відношення ймовірності позитивного результату для особи, що вживає наркотики, до позитивного результату особи, що їх не вживає. Апостеріорними шансами того, що особа вживає наркотики, відтак є ${\displaystyle \textstyle 1\times 99:199\times 1=99:199}$, що є дуже близьким до ${\displaystyle \textstyle 100:200=1:2}$. У круглих числах, лише один з трьох із тих, чия перевірка дала позитивний результат, насправді вживає наркотики.