Баєсове висновування

Баєсове висновування виводить апостеріорну ймовірність як логічний наслідок двох передумов, апріорної ймовірності та «функції правдоподібності», виведеної зі статистичної моделі спостережуваних даних. Баєсове висновування обчислює апостеріорну ймовірність відповідно до теореми Баєса:

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {P(E\mid H)\cdot P(H)}{P(E)}}}$

де

• ${\displaystyle \textstyle \mid }$ позначає «подія за умови» (таким чином, ${\textstyle \textstyle (A\mid B)}$ означає A за умови B).
• ${\displaystyle \textstyle H}$ означає будь-яку гіпотезу (англ. hypothesis), на чию ймовірність можуть вплинути дані (що називаються нижче свідченням). Часто існують конкуруючі гіпотези, і задача полягає у визначенні того, яка з них є найімовірнішою.
• ${\displaystyle \textstyle P(H)}$, апріорна ймовірність, є оцінкою ймовірності гіпотези ${\displaystyle \textstyle H}$ до спостереження даних ${\displaystyle \textstyle E}$, поточного свідчення.
• свідчення (англ. evidence) ${\displaystyle \textstyle E}$ відповідає новим даним, що не використовувалися при обчисленні апріорної ймовірності.
• ${\displaystyle \textstyle P(H\mid E)}$, апостеріорна ймовірність, є ймовірністю ${\displaystyle \textstyle H}$ за умови ${\displaystyle \textstyle E}$, тобто, після спостереження ${\displaystyle \textstyle E}$. Вона є тим, що ми хочемо знати: ймовірністю гіпотези за умови отриманого свідчення.
• ${\displaystyle \textstyle P(E\mid H)}$ є ймовірністю спостереження ${\displaystyle \textstyle E}$ за умови ${\displaystyle \textstyle H}$, і її називають правдоподібністю. Як функція від ${\displaystyle \textstyle E}$ при незмінній ${\displaystyle \textstyle H}$, вона вказує на сумісність свідчення з даною гіпотезою. Функція правдоподібності є функцією від свідчення, ${\displaystyle \textstyle E}$, тоді як апостеріорна ймовірність є функцією від гіпотези, ${\displaystyle \textstyle H}$.
• ${\displaystyle \textstyle P(E)}$ іноді називають відособленою правдоподібністю, або «свідченням моделі». Цей множник є однаковим для всіх можливих гіпотез, що розглядаються (що очевидно з того факту, що гіпотеза ${\displaystyle \textstyle H}$ ніде не з'являється в цьому позначенні, на відміну від усіх інших множників), тож цей множник не входить до визначення відносних ймовірностей різних гіпотез.

Для різних значень ${\displaystyle \textstyle H}$ на значення ${\displaystyle \textstyle P(H\mid E)}$ впливають лише множники ${\displaystyle \textstyle P(H)}$ та ${\displaystyle \textstyle P(E\mid H)}$, обидва в чисельнику, — апостеріорна ймовірність гіпотези є пропорційною її апріорній ймовірності (притаманній їй вірогідності) та новоотриманій правдоподібності (її сумісності з новим спостереженим свідченням).

Правило Баєса також може бути записано наступним чином:

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {P(E\mid H)}{P(E)}}\cdot P(H)}$

де множник ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(E\mid H)}{P(E)}}}$ можна інтерпретувати як вплив ${\displaystyle E}$ на ймовірність ${\displaystyle H}$.

Баєсове уточнення широко застосовується та є обчислювально зручним. Однак, це не єдине правило уточнення, що може вважатися раціональним.

Ян Хакінг зауважив, що традиційні аргументи голландської системи ставок не визначали використання саме баєсового уточнення: вони залишили відкритою можливість, що не-баєсові правила уточнення можуть обходити голландську систему ставок. Хакінг написав:[3]

Й ані аргумент голландської системи ставок, ані жоден інший в арсеналі доказів ймовірнісних аксіом персоналістів не тягне за собою динамічного припущення. Жоден не тягне за собою баєсовизму. Тому персоналістові потрібно, щоби динамічне припущення було баєсовим. Це є правда, що в послідовності персоналіст може відмовитися від байєсової моделі навчання на досвіді. Сіль може втратити свій смак. Оригінальний текст (англ.) And neither the Dutch book argument nor any other in the personalist arsenal of proofs of the probability axioms entails the dynamic assumption. Not one entails Bayesianism. So the personalist requires the dynamic assumption to be Bayesian. It is true that in consistency a personalist could abandon the Bayesian model of learning from experience. Salt could lose its savour.

Дійсно, існують не-баєсові правила уточнення, що також обходять голландську систему ставок (як обговорюється в літературі про «кінематику ймовірностей») після публікації правила Річарда Джефрі, що застосовує правило Баєса до випадку, коли свідченню самому встановлюється ймовірність.[4] Додаткові гіпотези, необхідні для однозначної вимоги баєсового уточнення, було визнано значними, складними та незадовільними.[5]

• ${\displaystyle x}$, точка даних у загальному сенсі. Фактично це може бути вектор значень.
• ${\displaystyle \theta }$, параметр розподілу точки даних, тобто, ${\displaystyle x\sim p(x\mid \theta )}$. Фактично це може бути вектор параметрів.
• ${\displaystyle \alpha }$, гіперпараметр розподілу параметра, тобто, ${\displaystyle \theta \sim p(\theta \mid \alpha )}$. Фактично це може бути вектор гіперпараметрів.
• ${\displaystyle \mathbf {X} }$ є вибіркою, набором ${\displaystyle n}$ спостережуваних точок даних, тобто, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$.
• ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, нова точка даних, чий розподіл потрібно передбачити.

• Апріорний розподіл — це розподіл параметру (параметрів) до будь-якого спостереження даних, тобто ${\displaystyle p(\theta \mid \alpha )}$.
• Визначити апріорний розподіл може бути не так легко. У даному випадку ми можемо скористатися апріорним розподілом Джеффріса, щоби отримати апостеріорний розподіл перед уточненням його подальшими спостереженнями.

• Вибірковий розподіл — це розподіл спостережуваних даних в залежності від його параметрів, тобто, ${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \theta )}$. Його також називають функцією правдоподібності (англ. likelihood function), особливо коли розглядають його як функцію від параметру (параметрів), що іноді записується як ${\displaystyle \operatorname {L} (\theta \mid \mathbf {X} )=p(\mathbf {X} \mid \theta )}$.
• Відособлена правдоподібність (що іноді також називають свідченням) — це розподіл спостережуваних даних, відособлений за параметром (параметрами), тобто, ${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \alpha )=\int p(\mathbf {X} \mid \theta )p(\theta \mid \alpha )\operatorname {d} \!\theta }$.
• Апостеріорний розподіл — це розподіл параметру (параметрів) після взяття до уваги спостережуваних даних. Він визначається за правилом Баєса, що формує серцевину баєсового висновування:

${\displaystyle p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )={\frac {p(\mathbf {X} \mid \theta )p(\theta \mid \alpha )}{p(\mathbf {X} \mid \alpha )}}\propto p(\mathbf {X} \mid \theta )p(\theta \mid \alpha )}$

Зауважте, що словами це виражається як «апостеріорне є пропорційним апріорному, помноженому на правдоподібність», або іноді як «апостеріорне = правдоподібність на апріорне, відносно свідчення».

• Апостеріорний передбачуваний розподіл — це розподіл нової точки даних, відособлений за апостеріорним:

${\displaystyle p({\tilde {x}}\mid \mathbf {X} ,\alpha )=\int p({\tilde {x}}\mid \theta )p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )\operatorname {d} \!\theta }$

• Апріорний передбачуваний розподіл — це розподіл нової точки даних, відособлений за апріорним:

${\displaystyle p({\tilde {x}}\mid \alpha )=\int p({\tilde {x}}\mid \theta )p(\theta \mid \alpha )\operatorname {d} \!\theta }$

Баєсова теорія передбачає використання апостеріорного передбачуваного розподілу для передбачувального висновування, тобто, для передбачування розподілу ймовірностей нової, ще не спостережуваної точки даних. Тобто, замість фіксованої точки, як передбачення повертається розподіл ймовірностей над можливими точками. Лише в цьому випадку є повний апостеріорний розподіл параметру (параметрів), що використовуються. Для порівняння, передбачування у частотній статистиці часто полягає у знаходженні оптимальної точкової оцінки параметру (параметрів) — наприклад, методом максимальної правдоподібності або оцінки апостеріорного максимуму — і наступному підставленні цієї оцінки до формули розподілу точки даних. Це має той недолік, що воно не враховує жодної невизначеності у значенні параметру, і відтак недооцінюватиме дисперсію передбачуваного розподілу.

(У деяких випадках частотна статистика може обходити цю проблему. Наприклад, коли довірчі та передбачувані інтервали у частотній статистиці будуються з нормального розподілу з невідомим середнім значенням та дисперсією, вони будуються з використанням t-розподілу Стьюдента. Це дає правильну оцінку дисперсії завдяки тому факту, що (1) середнє значення випадкових величин із нормальним розподілом також має нормальний розподіл; (2) передбачуваний розподіл точки даних з нормальним розподілом та невідомими середнім значенням та дисперсією при використанні спряжених або неінформативних апріорних розподілів має t-розподіл Стьюдента. Однак, у баєсовій статистиці апостеріорний передбачуваний розподіл може завжди визначатися точно — чи, принаймні, з довільним рівнем точності, при застосуванні чисельних методів.)

Зауважте, що обидва типи передбачуваних розподілів мають вигляд складного розподілу ймовірності (так само, як і відособлена правдоподібність). Справді, якщо апріорний розподіл є спряженим апріорним розподілом, і, отже, апріорний та апостеріорний розподіли походять із одного сімейства, то можна легко переконатися, що як апріорний, так і апостеріорний передбачувані розподіли також походять з одного й того ж сімейства складних розподілів. Різниця лише в тім, що апостеріорний передбачуваний розподіл використовує уточнені значення гіперпараметрів (застосовуючи баєсові правила уточнення, наведені у статті про спряжений апріорний розподіл), тоді як апріорний передбачуваний розподіл використовує значення гіперпараметрів, що фігурують в апріорному розподілі.

Схема, що ілюструє простір подій ${\displaystyle \Omega }$ у загальному формулюванні баєсового висновування. І хоча ця схема показує дискретні моделі та події, безперервний випадок може бути візуалізовано так само, з використанням щільностей ймовірностей.

Припустімо, що процес породжує незалежні однаково розподілені події (англ. events) ${\displaystyle E_{n}}$, але розподіл ймовірностей є невідомим. Нехай простір подій ${\displaystyle \Omega }$ представляє поточний стан переконань для цього процесу. Кожну модель представляють подією ${\displaystyle M_{m}}$. Для визначення моделей вказують умовні ймовірності ${\displaystyle P(E_{n}\mid M_{m})}$. ${\displaystyle P(M_{m})}$ є мірою переконання в ${\displaystyle M_{m}}$. Перед першим кроком висновування ${\displaystyle \{P(M_{m})\}}$ є набором початкових апріорних ймовірностей. Вони повинні в сумі давати 1, а в іншому можуть бути довільними.

Припустімо, що ми спостерігали, що процес породив ${\displaystyle \textstyle E\in \{E_{n}\}}$. Для кожної ${\displaystyle M\in \{M_{m}\}}$ апріорна ${\displaystyle P(M)}$ уточнюється до апостеріорної ${\displaystyle P(M\mid E)}$. З теореми Баєса:[6]

${\displaystyle P(M\mid E)={\frac {P(E\mid M)}{\sum _{m}{P(E\mid M_{m})P(M_{m})}}}\cdot P(M)}$

Після спостереження подальших свідчень цю процедуру може бути повторено.

Для послідовності незалежних однаково розподілених спостережень ${\displaystyle \mathbf {E} =(e_{1},\dots ,e_{n})}$ за допомогою індукції може бути показано, що повторне застосування наведеного вище еквівалентне

${\displaystyle P(M\mid \mathbf {E} )={\frac {P(\mathbf {E} \mid M)}{\sum _{m}{P(\mathbf {E} \mid M_{m})P(M_{m})}}}\cdot P(M)}$

де

${\displaystyle P(\mathbf {E} \mid M)=\prod _{k}{P(e_{k}\mid M)}.}$

Для послідовності, в якій умовну незалежність спостережень гарантовано бути не може, Рейчел Бонд, Ян-Хуей Хе та Томас Ормерод[7] показали з квантової механіки, що

${\displaystyle P(M_{\alpha }|E_{1}\cap E_{2}\ldots \cap E_{m})={\frac {\sum \limits _{i,j}{\sqrt {E_{i\alpha }E_{j\alpha }}}c_{ij}^{\alpha }}{\sum \limits _{i,j,\beta }{\sqrt {E_{i\beta }E_{j\beta }}}c_{ij}^{\beta }}}}$

отже,

${\displaystyle P(M_{1}|E_{1}\cap E_{2})={\frac {{\frac {P(E_{1}|M_{1})P(E_{2}|M_{1})}{P(E_{1}|M_{2})P(E_{2}|M_{2})}}+P(E_{1}|M_{1})+P(E_{2}|M_{1})}{{\frac {P(E_{1}|M_{1})P(E_{2}|M_{1})}{P(E_{1}|M_{2})P(E_{2}|M_{2})}}+P(E_{1}|M_{1})+P(E_{2}|M_{1})+{\frac {P(E_{1}|M_{2})P(E_{2}|M_{2})}{P(E_{1}|M_{1})P(E_{2}|M_{1})}}+P(E_{1}|M_{2})+P(E_{2}|M_{2})}}}$

При параметризації простору моделей переконання в усіх моделях можуть уточнюватися за один крок. Розподіл переконань над простором моделей може розглядатися як розподіл переконань над простором параметрів. Розподіли в цьому розділі виражаються як безперервні, представлені густинами імовірності, як це й є у звичайній ситуації. Тим не менше, ця методика є так само застосовною й до дискретних розподілів.

Нехай вектор ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ охоплює простір параметрів. Нехай початковим апріорним розподілом над ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ буде ${\displaystyle p(\mathbf {\theta } \mid \mathbf {\alpha } )}$, де ${\displaystyle \mathbf {\alpha } }$ є набором параметрів самого апріорного розподілу, або гіперпараметрів. Нехай ${\displaystyle \mathbf {E} =(e_{1},\dots ,e_{n})}$ буде послідовністю незалежних однаково розподілених спостережень подій, де всі ${\displaystyle e_{i}}$ розподілено як ${\displaystyle p(e\mid \mathbf {\theta } )}$ для деякого ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$. Для отримання апостеріорного розподілу над ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ застосовується теорема Баєса:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {\theta } \mid \mathbf {E} ,\mathbf {\alpha } )&={\frac {p(\mathbf {E} \mid \mathbf {\theta } ,\mathbf {\alpha } )}{p(\mathbf {E} \mid \mathbf {\alpha } )}}\cdot p(\mathbf {\theta } \mid \mathbf {\alpha } )\\&={\frac {p(\mathbf {E} \mid \mathbf {\theta } ,\mathbf {\alpha } )}{\int p(\mathbf {E} |\mathbf {\theta } ,\mathbf {\alpha } )p(\mathbf {\theta } \mid \mathbf {\alpha } )\,d\mathbf {\theta } }}\cdot p(\mathbf {\theta } \mid \mathbf {\alpha } )\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle p(\mathbf {E} \mid \mathbf {\theta } ,\mathbf {\alpha } )=\prod _{k}p(e_{k}\mid \mathbf {\theta } )}$

${\displaystyle \textstyle {\frac {P(E\mid M)}{P(E)}}>1\Rightarrow \textstyle P(E\mid M)>P(E)}$. Тобто, якщо модель була вірною, то свідчення буде правдоподібнішим, ніж передбачено поточним станом переконання. Зворотня ситуація веде до зменшення переконання. Якщо переконання не змінюється, то ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(E\mid M)}{P(E)}}=1\Rightarrow \textstyle P(E\mid M)=P(E)}$. Тобто, свідчення не залежить від моделі. Якщо модель була вірною, то свідчення буде правдоподібним рівно настільки, наскільки передбачено поточним станом переконання.

Якщо ${\displaystyle P(M)=0}$, то ${\displaystyle P(M\mid E)=0}$. Якщо ${\displaystyle P(M)=1}$, то ${\displaystyle P(M|E)=1}$. Це може інтерпретуватися так, що категоричні переконання є нечутливими до контр-доказів.

Перше випливає безпосередньо з теореми Баєса. Друге може бути виведено застосуванням першого правила до події «не ${\displaystyle M}$» замість «${\displaystyle M}$», що дасть «якщо ${\displaystyle 1-P(M)=0}$, то ${\displaystyle 1-P(M\mid E)=0}$», з чого результат випливатиме безпосередньо.

Розгляньмо поведінку розподілу переконання у процесі його уточнення велику кількість разів незалежними однаково розподіленими пробами. Для достатньо гарних апріорних ймовірностей теорема Бернштайна — фон Мізеса дає те, що на границі нескінченних проб апостеріорний розподіл збігається до нормального, незалежно від початкового апріорного розподілу, за певних умов, вперше окреслених та суворо доведених Джозефом Дубом 1948 року, а саме, якщо випадкова змінна у міркуваннях має скінченний імовірнісний простір. Загальніші результати було отримано пізніше статистиком Девідом Фрідменом, який опублікував у двох плідних дослідницьких працях 1963[8] та 1965[9] років, коли і за яких обставин гарантується асимптотична поведінка апостеріорного розподілу. Його праця 1963 року, як і праця Дуба 1949 року, розглядає скінченний випадок, і приходить до задовільного результату. Однак, якщо випадкова змінна має нескінченний, але зліченний імовірнісний простір (тобто, відповідає гральній кістці з нескінченною кількістю граней), то праця 1965 року демонструє, що для щільної підмножини апріорних ймовірностей теорема Бернштайна — фон Мізеса не є застосовною. В цьому випадку асимптотичного збігання майже напевно немає. Пізніше у 1980-х та 1990-х роках Девід Фрідмен та Персі Діаконіс продовжили працювати над випадком нескінченних зліченних імовірнісних просторів.[10] Підсумовуючи, для подолання впливу початкового вибору може бути замало проб, і, особливо у випадку великих (але скінченних) систем, збігання може бути дуже повільним.

У параметризованій формі часто вважається, що апріорний розподіл належить до сімейства розподілів, що називається спряженими апріорними розподілами. Корисність спряженого апріорного розподілу полягає в тім, що відповідний апостеріорний розподіл належатиме до того ж сімейства, і його обчислення може бути виражено у замкненому вигляді.

Часто потрібно використовувати апостеріорний розподіл для оцінювання параметру або змінної. Кілька методів баєсового оцінювання вибирають вимірювання центральної тенденції з апостеріорного розподілу.

Для одновимірних задач існує унікальна медіана для практичних безперервних задач. Апостеріорна медіана є привабливою як робастний оцінювач.[11]

Якщо для апостеріорного розподілу існує скінченне середнє значення, тоді апостеріорне середнє є методом оцінювання.[12]

${\displaystyle {\tilde {\theta }}=\operatorname {E} [\theta ]=\int \theta \,p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )\,d\theta }$

Взяття значення із найбільшою ймовірністю визначає оцінки апостеріорного максимуму (англ. maximum a posteriori, MAP):[13]

${\displaystyle \{\theta _{\text{MAP}}\}\subset \arg \max _{\theta }p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha ).}$

Існують приклади, в яких не досягається жодного максимуму, і в такому випадку множина оцінок апостеріорного максимуму є порожньою.

Існують інші методи оцінювання, що мінімізують апостеріорний ризик (очікувані апостеріорні втрати) відносно функції втрат, і вони становлять інтерес для статистичної теорії рішень з використанням вибіркового розподілу («частотна статистика»).[14]

Апостеріорний передбачуваний розподіл нового спостереження ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ (що є незалежним від попередніх спостережень) визначається як

${\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {X} ,\alpha )=\int p({\tilde {x}},\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )\,d\theta =\int p({\tilde {x}}\mid \theta )p(\theta \mid \mathbf {X} ,\alpha )\,d\theta .}$

Припустімо, є дві повні чаші коржиків. Чаша № 1 містить 10 шоколадних коржиків, і 30 звичайних, тоді як чаша № 2 містить по 20 кожних. Наш друг Петро обирає випадкову чашу, й витягає з неї випадковий коржик. Ми можемо припустити, що немає жодних підстав вважати, що Петро віддає перевагу якійсь із чаш, і аналогічно з коржиками. Коржик виявляється звичайним. Якою є ймовірність того, що Петро взяв його з чаші № 1?

Інтуїтивно здається ясним, що відповідь повинна бути більшою за половину, оскільки простих коржиків у чаші № 1 більше. А точну відповідь дає теорема Баєса. Нехай ${\displaystyle H_{1}}$ відповідає чаші № 1, а ${\displaystyle H_{2}}$ — чаші № 2. Дано, що з точки зору Петра вони є ідентичними, отже, ${\displaystyle P(H_{1})=P(H_{2})}$, і в сумі вони повинні давати 1, тому обидва дорівнюють 0.5. Подія ${\displaystyle E}$ є спостереженням звичайного коржика. Із вмісту чаш нам відомо, що ${\displaystyle P(E\mid H_{1})=30/40=0.75}$ і ${\displaystyle P(E\mid H_{2})=20/40=0.5}$. Формула Баєса відтак дає

${\displaystyle {\begin{aligned}P(H_{1}\mid E)&={\frac {P(E\mid H_{1})\,P(H_{1})}{P(E\mid H_{1})\,P(H_{1})\;+\;P(E\mid H_{2})\,P(H_{2})}}\\\\\ &={\frac {0.75\times 0.5}{0.75\times 0.5+0.5\times 0.5}}\\\\\ &=0.6\end{aligned}}}$

До того, як ми побачили коржик, ймовірність, яку ми призначили виборові Петром чаші № 1, була апріорною ймовірністю, ${\displaystyle P(H_{1})}$, що дорівнювала 0.5. Після спостереження того коржика ми мусимо переглянути ймовірність до ${\displaystyle P(H_{1}\mid E)}$, що дорівнює 0.6.

Приклад результатів для археологічного прикладу. Цю симуляцію було згенеровано з використанням c=15.2.

Археолог працює на розкопках поселення припусти́мо середньовічного періоду, між XI та XVI століттями. Тим не менш, залишається не ясним, коли саме протягом цього періоду поселення було заселеним. Знайдено уламки кераміки, деякі з них глазуровані, і деякі розписні. Очікується, що якщо поселення було заселеним протягом раннього середньовіччя, то 1 % кераміки буде глазурованим, і 50 % його поверхні буде розписано, тоді як якщо воно було заселеним пізнього середньовіччя, то 81 % буде глазурованим, і 5 % його площі буде розписано. Наскільки впевненим може бути археолог у даті заселення у процесі викопування уламків?

Необхідно обчислювати міру переконання у безперервній змінній ${\displaystyle C}$ (століття), маючи дискретний набір подій ${\displaystyle \{GD,G{\bar {D}},{\bar {G}}D,{\bar {G}}{\bar {D}}\}}$ (де ${\displaystyle G}$ — глазурованість, а ${\displaystyle D}$ — наявність розпису) як свідчення. Припускаючи лінійну зміну глазурованості та розпису протягом часу та те, що ці змінні є незалежними,

${\displaystyle P(E=GD\mid C=c)=(0.01+{\frac {0.81-0.01}{16-11}}(c-11))(0.5-{\frac {0.5-0.05}{16-11}}(c-11))}$

${\displaystyle P(E=G{\bar {D}}\mid C=c)=(0.01+{\frac {0.81-0.01}{16-11}}(c-11))(0.5+{\frac {0.5-0.05}{16-11}}(c-11))}$

${\displaystyle P(E={\bar {G}}D\mid C=c)=((1-0.01)-{\frac {0.81-0.01}{16-11}}(c-11))(0.5-{\frac {0.5-0.05}{16-11}}(c-11))}$

${\displaystyle P(E={\bar {G}}{\bar {D}}\mid C=c)=((1-0.01)-{\frac {0.81-0.01}{16-11}}(c-11))(0.5+{\frac {0.5-0.05}{16-11}}(c-11))}$

Припустімо, що апріорним є неперервний рівномірний розподіл ${\displaystyle \textstyle f_{C}(c)=0.2}$, і що проби є незалежними однаково розподіленими. Коли виявляється новий уламок типу ${\displaystyle e}$, застосовується теорема Баєса для уточнення міри переконання у кожному ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{C}(c\mid E=e)={\frac {P(E=e\mid C=c)}{P(E=e)}}f_{C}(c)={\frac {P(E=e\mid C=c)}{\int _{11}^{16}{P(E=e\mid C=c)f_{C}(c)dc}}}f_{C}(c)}$

На графіку зображено комп'ютерну симуляцію зміни переконання в процесі викопування 50 уламків. У цій симуляції поселення було заселено близько 1420 року, або ${\displaystyle c=15.2}$. За допомогою обчислення площі під відповідною частиною цього графіка для 50 проб археолог може стверджувати, що практично немає шансів, що це поселення було заселеним в XI та XII століттях, близько 1 % складає шанс того, що воно було заселеним протягом XIII століття, 63 % шансів протягом XIV століття та 36 % протягом XV століття. Зауважте, що теорема Бернштайна — фон Мізеса стверджує, що тут має місце асимптотичне збігання до «справжнього» розподілу, оскільки ймовірнісний простір, що відповідає дискретному наборові подій ${\displaystyle \{GD,G{\bar {D}},{\bar {G}}D,{\bar {G}}{\bar {D}}\}}$, є скінченним (див. вище розділ про асимптотичну поведінку апостеріорного розподілу).

Баєсове висновування має застосування в штучному інтелекті та експертних системах. Методики баєсового висновування були фундаментальною частиною методик комп'ютеризованого розпізнавання образів з кінця 1950-х років. Також існує й постійно зростає зв'язок між баєсовими методами та методиками Монте Карло на основі симуляцій, оскільки складні моделі не можуть оброблюватися в замкненому вигляді баєсовим аналізом, тоді як структури графових моделей можуть уможливлювати ефективні симуляційні алгоритми, такі як вибірка за Ґіббсом та інші схеми алгоритму Метрополіса — Гастінгса.[23] З цих причин баєсове висновування нещодавно завоювало популярність серед спільноти філогенетиків; деякі із застосувань дозволяють одночасно оцінювати багато демографічних та еволюційних параметрів.

Що стосується статистичної класифікації, то баєсове висновування застосовувалося у нещодавні роки для розробки алгоритмів ідентифікації спаму електронної пошти. До застосунків, що використовують баєсове висновування для фільтрування спаму, належать CRM114, DSPAM, Bogofilter, SpamAssassin, Mozilla, XEAMS та інші. Класифікація спаму розглядається докладніше у статті про наївний баєсів класифікатор.

Індуктивне висновування Соломонова є теорією передбачування, що ґрунтується на спостереженнях; наприклад, передбачення наступного символу ґрунтується на заданій серії символів. Єдиним припущенням є те, що середовище слідує якомусь невідомому, проте обчислюваному розподілу ймовірності. Це є формальна індуктивна структура, що поєднує в собі два гарно вивчені принципи індуктивного висновування: баєсову статистику та бритву Оккама.[24] Універсальна апріорна ймовірність Соломонова будь-якого префіксу p обчислюваної послідовності x — це сума ймовірностей усіх програм (для універсального комп'ютера), що обчислюють щось, що починається з p. При заданому деякому p та будь-якому обчислюваному але невідомому розподілі ймовірності, з якого вибирається x, для передбачування ще небачених частин x оптимальним чином можуть використовуватися універсальний апріорний розподіл та теорема Баєса.[25][26]

Баєсове висновування може застосовуватися присяжними, щоби послідовно накопичувати свідчення за та проти підсудного, і бачити, чи вони в сукупності відповідають їхньому особистому порогові «поза розумним сумнівом».[27][28][29] Теорема Баєса застосовується послідовно до усіх представлених свідчень так, що апостеріорне переконання з однієї стадії стає апріорним для наступної. Баєсів підхід корисний тим, що він надає присяжному неупереджений раціональний механізм для поєднання свідчень. Пояснювати теорему Баєса присяжним може бути доречно у формі шансів, оскільки шанси парі є зрозумілими ширшому загалові, аніж імовірності. Крім того, для присяжного може бути зрозумілішим логарифмічний підхід, що замінює множення додаванням.

Додавання свідчень.

Якщо в існуванні злочину сумніву немає, а є лише в особі обвинуваченого, то радять як апріорний використовувати рівномірний розподіл над визначеною сукупністю.[30] Наприклад, якщо 1 000 людей могли скоїти цей злочин, то апріорною ймовірністю провинності буде 1/1000.

Використання теореми Баєса присяжними є дискусійним. У Сполученому Королівстві судовий експерт захисту пояснив теорему Баєса суду присяжних у справі Р проти Адамса. Суд присяжних визнав відповідача винним, але на це рішення було подано апеляцію на тій підставі, що не було надано засобів акумулювання свідчень для тих присяжних, що не хотіли використовувати теорему Баєса. Апеляційний суд залишив вирок у силі, але також зробив висновок, що

Залучення до кримінального процесу теореми Баєса, або іншого подібного методу, занурює присяжних у невідповідні та непотрібні сфери теорії та складності, відхиляючи їх від притаманної їм задачі" Оригінальний текст (англ.) To introduce Bayes' Theorem, or any similar method, into a criminal trial plunges the jury into inappropriate and unnecessary realms of theory and complexity, deflecting them from their proper task.

Гарднер-Медвін[31] переконує, що критерієм, на якому повинен базуватися вирок у кримінальній справі, є не ймовірність провини, а швидше ймовірність свідчення за умови невинності відповідача (близька до частотного p-значення). Він стверджує, що якщо апостеріорна ймовірність провини має обчислюватися за теоремою Баєса, то мусить бути відомою апріорна ймовірність провини. А вона залежатиме від сфери злочину, яка є незвичним свідченням для розгляду в кримінальній справі. Розгляньмо наступні три твердження:

А Відомі факти та показання свідків могли би виникнути, якби відповідач був винним

Б Відомі факти та показання свідків могли би виникнути, якби відповідач був невинним

В Відповідач є винним.

Гарднер-Медвін стверджує, що для винесення обвинувального вироку суд присяжних повинен переконатися як в А, так і в не-Б. З А та не-Б випливає істинність В, але зворотнє не є вірним. Існує можливість, що вірними є Б та В, але в цьому випадку він стверджує, що суд присяжних повинен винести виправдувальний вирок, незважаючи на те, що вони знають, що дозволяють звільнитися деяким винним людям. Див. також парадокс Ліндлі.

Баєсова епістемологія є рухом, що виступає за баєсове висновування як засіб обґрунтування правил індуктивної логіки.

Карл Поппер та Девід Міллер відкинули нібито раціональність баєсовизму, тобто використання правила Баєса для здійснення епістемологічного висновування:[32] він схильний до того ж порочного кола, що й будь-яка інша виправдовувальна епістемологія, оскільки спирається на те, що намагається виправдати. Відповідно до цієї точки зору, раціональна інтерпретація баєсового висновування бачитиме його лише як імовірнісну версію фальсифікаціонізму, заперечуючи переконання, поширене серед баєсовистів, що висока правдоподібність, досягнута послідовністю баєсових уточнень, доводитиме гіпотезу поза розумним сумнівом, чи навіть із правдоподібністю, більшою за 0.

• Науковий метод іноді інтерпретують як застосування баєсового висновування. З цієї точки зору правило Баєса скеровує (або повинне скеровувати) уточнення ймовірностей гіпотези в залежності від нових спостережень або експериментів.[33] Баєсове висновування також було застосовувано Цаєм та ін. (2009) до задач стохастичного планування з неповною інформацією.[34]
• Теорія баєсового пошуку застосовується для пошуку загублених об'єктів.
• Баєсове висновування у філогенетиці
• Баєсів інструмент для аналізу метилювання
• Баєсові підходи до функції мозку досліджують мозок як баєсів механізм.
• Баєсове висновування в екологічних дослідженнях[35][36]
• Баєсове висновування застосовують для оцінювання параметрів у стохастичних хімічних кінетичних моделях[37]

Наступні книги перелічено у порядку зростання статистичної складності:

• Stone, JV (2013), «Bayes’ Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis», Download first chapter here, Sebtel Press, England. (англ.)
• Dennis V. Lindley (2013). Understanding Uncertainty, Revised Edition (вид. 2nd). John Wiley. ISBN 978-1-118-65012-7. (англ.)
• Colin Howson; Peter Urbach (2005). Scientific Reasoning: The Bayesian Approach (вид. 3rd). Open Court Publishing Company. ISBN 978-0-8126-9578-6. (англ.)
• Berry, Donald A. (1996). Statistics: A Bayesian Perspective. Duxbury. ISBN 0-534-23476-3. (англ.)
• Morris H. DeGroot; Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics (вид. third). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52488-8. Проігноровано невідомий параметр |last-author-amp= (довідка) (англ.)
• Bolstad, William M. (2007) Introduction to Bayesian Statistics: Second Edition, John Wiley ISBN 0-471-27020-2 (англ.)
• Winkler, Robert L (2003). Introduction to Bayesian Inference and Decision (вид. 2nd). Probabilistic. ISBN 0-9647938-4-9. (англ.) Оновлений класичний підручник. Чітко представлено баєсову теорію.
• Lee, Peter M. Bayesian Statistics: An Introduction. Fourth Edition (2012), John Wiley ISBN 978-1-1183-3257-3 (англ.)
• Carlin, Bradley P. & Louis, Thomas A. (2008). Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-697-8. (англ.)
• Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Dunson, David B.; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (2013). Bayesian Data Analysis, Third Edition. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-4095-5. (англ.)

• Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (вид. Second). Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. (англ.)
• Bernardo, José M.; Smith, Adrian F. M. (1994). Bayesian Theory. Wiley. (англ.)
• DeGroot, Morris H., Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. 2004. (початково опублікована (1970) McGraw-Hill.) ISBN 0-471-68029-X. (англ.)
• Schervish, Mark J. (1995). Theory of statistics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94546-6. (англ.)
• Jaynes, E. T. (1998) Probability Theory: The Logic of Science. (англ.)
• O'Hagan, A. та Forster, J. (2003) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 2B: Bayesian Inference. Arnold, New York. ISBN 0-340-52922-9. (англ.)
• Robert, Christian P (2001). The Bayesian Choice – A Decision-Theoretic Motivation (вид. second). Springer. ISBN 0-387-94296-3. (англ.)
• Glenn Shafer та Pearl, Judea, eds. (1988) Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems, San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. (англ.)
• Pierre Bessière et al. (2013), «Bayesian Programming», CRC Press. ISBN 9781439880326 (англ.)
• Francisco J. Samaniego (2010), «A Comparison of the Bayesian and Frequentist Approaches to Estimation» Springer, New York, ISBN 978-1-4419-5940-9 (англ.)